Задача №15371

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 34 150 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Пусть $S$ — сумма кредита (в рублях), $X$ — размер каждого из трёх равных платежей.

По условию общая сумма выплат на 34150 рублей больше суммы кредита:

$$3X=S+34150.(1)$$

Составим уравнение по остаткам долга после ежегодных выплат.

• После первого года: в январе долг увеличивается на 10%, становится $1,1S\text{.}$ После выплаты $X$ остаток долга: $1,1S-X\text{.}$
• После второго года: в январе долг увеличивается до $1,1(1,1S-X)=1,21S-1,1X\text{.}$ После выплаты $X$ остаток: $1,21S-1,1X-X=1,21S-2,1X\text{.}$
• После третьего года: в январе долг становится $1,1(1,21S-2,1X)=1,331S-2,31X\text{.}$ После выплаты $X$ долг должен быть погашен:

$$1,331S-2,31X-X=0\Rightarrow 1,331S-3,31X=0.(2)$$

Из уравнения (1) выразим $S=3X-34150$ и подставим в (2):

$$1,331(3X-34150)=3,31X.$$

Раскроем скобки:

$$3,993X-1,331\cdot 34150=3,31X.$$

Вычислим $1,331\cdot 34150\text{:}$

$$1,331\cdot 34150=45453,65.$$

Тогда:

$$3,993X-45453,65=3,31X$$ $$3,993X-3,31X=45453,65$$ $$0,683X=45453,65$$ $$X=\frac{45453,65}{0,683}=66550.$$

Общая сумма выплат:

$$3X=3\cdot 66550=199650.$$

Ответ: 199650