Задача №15370

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено $375000$ рублей?

Пусть сумма кредита $S$ рублей. Кредит погашается четырьмя равными платежами, общая сумма выплат $375000$ рублей, значит каждый платёж:

$$X=\frac{375000}{4}=93750.$$

Для аннуитетного платежа с процентной ставкой 25% и сроком 4 года выполняется соотношение:

$$X=S\cdot \frac{0.25\cdot (1.25{)}^4}{(1.25{)}^4-1}.$$

Вычислим: $(1.25{)}^4=2.44140625\text{.}$ Тогда:

$$(1.25{)}^4-1=1.44140625,0.25\cdot (1.25{)}^4=\mathrm{0.6103515625.}$$

Отсюда:

$$S=X\cdot \frac{1.44140625}{0.6103515625}=93750\cdot \frac{1.44140625}{0.6103515625}.$$

Заметим, что $1.44140625=\frac{369}{256}\text{,}$ $0.6103515625=\frac{156.25}{256}\text{,}$ поэтому:

$$\frac{1.44140625}{0.6103515625}=\frac{369}{156.25}=\frac{369\cdot 4}{625}=\frac{1476}{625}.$$

Тогда:

$$S=93750\cdot \frac{1476}{625}=\frac{93750}{625}\cdot 1476=150\cdot 1476=221400.$$

Ответ: $221400$ рублей.