Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение sqrt(2-3x)*ln(16x^2-a^2) = sqrt(2-3x)*ln(4x+a) имеет ровно один корень.

Задача №15369: Задача с параметром

Уравнение

2 - 3 x \cdot ln (16 x^{2} - a^{2}) = 2 - 3 x \cdot ln (4 x + a)

равносильно совокупности:

2 - 3 x = 0 или ln (16 x^{2} - a^{2}) = ln (4 x + a) .

ОДЗ:

2 - 3 x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{2}{3};

аргументы логарифмов положительны: $16 x^{2} - a^{2} > 0,$ $4 x + a > 0 .$

1. Первое уравнение: $2 - 3 x = 0 .$ Тогда

x = \frac{2}{3} .

Этот корень входит при условии определённости логарифмов:

16 \cdot \frac{4}{9} - a^{2} > 0, 4 \cdot \frac{2}{3} + a > 0 \Rightarrow a \in (- \frac{8}{3}, \frac{8}{3}) .

2. Второе уравнение: $ln (16 x^{2} - a^{2}) = ln (4 x + a) .$ Отсюда

16 x^{2} - a^{2} = 4 x + a, 4 x + a > 0.

Квадратное уравнение:

16 x^{2} - 4 x - (a^{2} + a) = 0.

Дискриминант:

D = 16 (2 a + 1)^{2} .

Корни:

x = \frac{1 \pm ∣2 a + 1∣}{8} .

В зависимости от знака $2 a + 1 :$

x_{1} = - \frac{a}{4}, x_{2} = \frac{a + 1}{4} (a \geq - \frac{1}{2}); x_{1} = \frac{a + 1}{4}, x_{2} = - \frac{a}{4} (a < - \frac{1}{2}) .

Для каждого корня проверяем условия $x \leq \frac{2}{3}$ и $4 x + a > 0 .$

Анализ:

a \in (- \frac{8}{3}, - \frac{1}{2}]

квадратное уравнение не имеет корней, удовлетворяющих условиям, а

x = \frac{2}{3}

является корнем, следовательно, ровно один корень.

a \in (- \frac{1}{2}, \frac{5}{3})

квадратное уравнение имеет корень $x_{2}$ (второй корень не подходит), и

x = \frac{2}{3}

также корень, следовательно, два корня.

a = \frac{5}{3}

квадратное уравнение имеет корень

x_{2} = \frac{2}{3}

(первый корень не подходит), совпадающий с корнем из первого уравнения, следовательно, ровно один корень.

a \in (\frac{5}{3}, \frac{8}{3})

квадратное уравнение не имеет корней,

x = \frac{2}{3}

корень, следовательно, ровно один корень.

Ответ:

a \in (- \frac{8}{3}, - \frac{1}{2}] \cup {\frac{5}{3}} \cup (\frac{5}{3}, \frac{8}{3}) .