Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение sqrt(2-3x)*ln(16x^2-a^2) = sqrt(2-3x)*ln(4x+a) имеет ровно один корень.

Уравнение sqrt(2-3x)*ln(16x^2-a^2) = sqrt(2-3x)*ln(4x+a) равносильно совокупности: sqrt(2-3x)=0 или ln(16x^2-a^2)=ln(4x+a). ОДЗ: 2-3x>= 0=> x<=(2)/(3); аргументы логарифмов положительны: 16x^2-a^2>0, 4x+a>0. 1. Первое уравнение: sqrt(2-3x)=0. Тогда x = (2)/(3). Этот корень входит при условии определённости логарифмов: 16*(4)/(9)-a^2>0, 4*(2)/(3)+a>0=> ain(-(8)/(3),(8)/(3)). 2. Второе уравнение: ln(16x^2-a^2)=ln(4x+a). Отсюда 16x^2-a^2=4x+a, 4x+a>0. Квадратное уравнение: 16x^2-4x-(a^2+a)=0. Дискриминант: D=16(2a+1)^2. Корни: x=(1+-|2a+1|)/(8). В зависимости от знака 2a+1: x_1=-(a)/(4), x_2=(a+1)/(4) (a>= -(1)/(2)); x_1=(a+1)/(4), x_2=-(a)/(4) (a < -(1)/(2)). Для каждого корня проверяем условия x<=(2)/(3) и 4x+a>0. Анализ: - При ain(-(8)/(3), -(1)/(2)] квадратное уравнение не имеет корней, удовлетворяющих условиям, а x = (2)/(3) является корнем, следовательно, ровно один корень. - При ain(-(1)/(2), (5)/(3)) квадратное уравнение имеет корень x_2 (второй корень не подходит), и x = (2)/(3) также корень, следовательно, два корня. - При a = (5)/(3) квадратное уравнение имеет корень x_2 = (2)/(3) (первый корень не подходит), совпадающий с корнем из первого уравнения, следовательно, ровно один корень. - При ain((5)/(3), (8)/(3)) квадратное уравнение не имеет корней, x = (2)/(3) корень, следовательно, ровно один корень. - В остальных случаях корней нет или их больше одного. Ответ: ain(-(8)/(3), -(1)/(2)] U(5)/(3)U((5)/(3), (8)/(3)).

\(a\in\left(-\dfrac{8}{3}, -\dfrac{1}{2}\right] \cup\left[\dfrac{5}{3}, \dfrac{8}{3}\right)\)