Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a2−ax−2x2−6a+3x+9∣x∣=0имеет четыре различных корня.
Уравнение: a2−ax−2x2−6a+3x+9∣x∣=0.
Сгруппируем слагаемые с x и ∣x∣. Перепишем:
−2x2+(−a+3)x+9∣x∣+a2−6a=0.Рассмотрим два случая в зависимости от знака x.
1. x⩾0. Тогда ∣x∣=x. Уравнение становится:
−2x2+(−a+3)x+9x+a2−6a=0⇒−2x2+(12−a)x+a2−6a=0.Умножим на -1:
2x2+(a−12)x−a2+6a=0.2. x<0. Тогда ∣x∣=−x. Уравнение:
−2x2+(−a+3)x−9x+a2−6a=0⇒−2x2+(−a−6)x+a2−6a=0.Умножим на -1:
2x2+(a+6)x−a2+6a=0.Итак, имеем два квадратных уравнения:
(1)2x2+(a−12)x−a2+6a=0,x⩾0; (2)2x2+(a+6)x−a2+6a=0,x<0.Требуется, чтобы исходное уравнение имело четыре различных корня. Это означает, что каждое из уравнений (1) и (2) должно иметь два различных корня, причём все эти корни должны удовлетворять своим условиям (x⩾0 для (1) и x<0 для (2)), и все четыре корня должны быть различными между собой (никакой корень из (1) не совпадает с корнем из (2)).
Начнём с условия наличия двух корней у каждого квадратного трёхчлена (дискриминанты положительны).
Для уравнения (1):
D1=(a−12)2−4⋅2⋅(−a2+6a)=(a2−24a+144)+8a2−48a=9a2−72a+144=9(a2−8a+16)=9(a−4)2.D1=9(a−4)2⩾0. При a=4 дискриминант нулевой, тогда уравнение (1) имеет один корень (кратности 2), что не даёт два различных корня. Поэтому нужно a=4.
Для уравнения (2):
D2=(a+6)2−4⋅2⋅(−a2+6a)=(a2+12a+36)+8a2−48a=9a2−36a+36=9(a2−4a+4)=9(a−2)2.D2=9(a−2)2⩾0. Аналогично, при a=2 один корень. Нужно a=2.
Таким образом, чтобы оба уравнения имели по два различных корня, необходимо a=2 и a=4.
Теперь нужно, чтобы корни уравнения (1) были неотрицательными, а корни уравнения (2) были отрицательными. Также все четыре корня должны быть различны.
Выпишем корни уравнений.
Для (1):
x1,2=2⋅2−(a−12)±D1=412−a±3∣a−4∣.Так как D1=(3∣a−4∣)2, то корни:
x1=412−a−3∣a−4∣,x2=412−a+3∣a−4∣.Для (2):
x3,4=2⋅2−(a+6)±D2=4−a−6±3∣a−2∣. x3=4−a−6−3∣a−2∣,x4=4−a−6+3∣a−2∣.Теперь нужно рассмотреть знаки выражений в зависимости от параметра a. Удобно разбить числовую прямую точками a=2 и a=4.
Случай I: a<2. Тогда:
∣a−4∣=4−a (так как a<2<4),
∣a−2∣=2−a.
Подставляем в выражения для корней.
Уравнение (1):
x1=412−a−3(4−a)=412−a−12+3a=42a=2a, x2=412−a+3(4−a)=412−a+12−3a=424−4a=6−a.Уравнение (2):
x3=4−a−6−3(2−a)=4−a−6−6+3a=42a−12=2a−3, x4=4−a−6+3(2−a)=4−a−6+6−3a=4−4a=−a.Теперь условия:
Для (1): x1⩾0, x2⩾0.
x1=2a⩾0⇒a⩾0. Но у нас a<2, значит, 0⩽a<2.
x2=6−a>0 при всех a<2 (так как 6−a>4).
Для (2): x3<0, x4<0.
x3=2a−3<0⇒2a<3⇒a<6, что верно при a<2.
x4=−a<0⇒a>0. Значит, a>0.
Таким образом, в случае I получаем условие 0<a<2 (так как a>0 и a<2, также a=2 и a=4 выполняются). При этом корни: x1=2a, x2=6−a, x3=2a−3, x4=−a.
Проверим, все ли корни различны. Поскольку a>0, x1>0, x2>0, и x2=6−a>4 при a<2, так что x2>x1? Сравним: 6−a>2a⇒6>23a⇒12>3a⇒a<4, верно. Значит, x2>x1. Отрицательные корни: x3=2a−3, x4=−a. При 0<a<2: 2a−3 от -3 до -2, −a от -2 до 0. Они могут совпасть? Решим 2a−3=−a⇒1.5a=3⇒a=2, но a<2, так что различны. Также нужно, чтобы ни один положительный корень не совпал с отрицательным. Это невозможно, так как одни неотрицательные, другие отрицательные. Но есть нюанс: при a=0 корни x1=0 и x4=0, но a=0 не входит в промежуток (условие a>0). При a=0 также x3=−3, x2=6. Но тогда два корня (0 и 0) совпадают, так что всего три различных корня? При a=0 уравнение (1) имеет корни 0 и 6, уравнение (2) корни -3 и 0. Но 0 является общим корнем, и он двукратный в (1)? При a=0: D1=9⋅16=144, корни: x1=412−0−3⋅4=412−12=0, x2=412−0+12=6. В (2): x3=4−0−6−3⋅2=4−6−6=−3, x4=4−0−6+6=0. Получаем корни: -3, 0, 0, 6. Здесь 0 повторяется, так что различных корней три. Поэтому a=0 не подходит. Условие a>0 уже есть.
Итак, для случая I получаем промежуток 0<a<2.
Случай II: 2<a<4. Тогда:
∣a−4∣=4−a (так как a<4),
∣a−2∣=a−2 (так как a>2).
Корни уравнения (1) те же, что в случае I, поскольку ∣a−4∣ такое же:
x1=2a,x2=6−a.Корни уравнения (2):
x3=4−a−6−3(a−2)=4−a−6−3a+6=4−4a=−a, x4=4−a−6+3(a−2)=4−a−6+3a−6=42a−12=2a−3.Теперь условия:
Для (1): x1=2a⩾0 — верно при a>2; x2=6−a⩾0⇒a⩽6, что верно при a<4. Но нужно, чтобы оба корня были неотрицательными. При a=6 x2=0, но a<4, так что x2>0.
Для (2): x3=−a<0 — верно при a>0; x4=2a−3<0⇒2a<3⇒a<6, верно.
Также нужно, чтобы корни уравнения (2) были отрицательными: x3=−a отрицательно при a>0, x4=2a−3. При a>2: 2a−3>−2, может ли x4 быть неотрицательным? 2a−3⩾0⇒a⩾6, но a<4, так что x4<0. Значит, оба отрицательны.
Теперь проверяем, что все корни различны. Положительные: x1=2a, x2=6−a. При 2<a<4: x1 от 1 до 2, x2 от 2 до 4. Они могут совпасть? 2a=6−a⇒1.5a=6⇒a=4, но a<4, так что различны. Отрицательные: x3=−a (от -4 до -2), x4=2a−3 (от -2 до -1). Они могут совпасть? −a=2a−3⇒−1.5a=−3⇒a=2, но a>2, так что различны. Также положительные и отрицательные не пересекаются. Но есть ли совпадение между положительным и отрицательным? Например, x1=2a и x4=2a−3 - различны. x2=6−a и x3=−a - различны. И т.д. Однако нужно учесть, что при a=3: x1=1.5, x2=3, x3=−3, x4=−1.5 — все различны.
Есть ли ещё ограничения? Дискриминанты положительны при a=2,4. В данном промежутке это выполняется.
Таким образом, для случая II условие 2<a<4 даёт четыре различных корня.
Случай III: a>4. Тогда:
∣a−4∣=a−4,
∣a−2∣=a−2.
Корни уравнения (1):
x1=412−a−3(a−4)=412−a−3a+12=424−4a=6−a, x2=412−a+3(a−4)=412−a+3a−12=42a=2a.Заметим, что теперь x1 и x2 поменялись ролями по сравнению с предыдущими случаями, но это просто обозначения. Теперь x1=6−a, x2=2a.
Корни уравнения (2):
x3=4−a−6−3(a−2)=4−a−6−3a+6=4−4a=−a, x4=4−a−6+3(a−2)=4−a−6+3a−6=42a−12=2a−3.Условия:
Для (1): x1=6−a⩾0⇒a⩽6. При a>4 это даёт 4<a⩽6. Также x2=2a⩾0 — верно.
Для (2): x3=−a<0 — верно; x4=2a−3<0⇒2a<3⇒a<6. То есть для x4 нужно a<6. Кроме того, корни (2) должны быть отрицательными: x4 при a<6 отрицательно? При a>4: 2a−3>−1, но может стать неотрицательным при a⩾6. Так что нужно a<6.
Таким образом, для случая III получаем 4<a<6. При этом a=4 и a=6 (при a=6 x4=0, что не отрицательно, и также x1=0, но это уже не четыре различных корня). Проверим границу a=6: тогда уравнение (1): корни x1=0, x2=3; уравнение (2): корни x3=−6, x4=0. Получаем корни: -6, 0, 0, 3 — три различных. Не подходит.
При a>6: x1=6−a<0, но это корень уравнения (1), которое должно иметь корни при x⩾0. Значит, условие x1⩾0 нарушается. Поэтому при a>6 уравнение (1) имеет один неотрицательный корень? Проверим: при a>6 x1<0, так что он не подходит под условие x⩾0. Тогда остаётся только x2=2a>0. Но тогда уравнение (1) даёт только один корень (второй отрицательный, отбрасывается). Чтобы было два корня в (1), оба должны быть неотрицательными. При a>6 это не так. Следовательно, при a>6 уравнение (1) имеет ровно один корень (удовлетворяющий условию x⩾0). Уравнение (2) при a>6: x3=−a<0, x4=2a−3. При a>6 x4>0? 2a−3>0 при a>6, так что x4 не отрицателен, значит, не подходит под условие x<0. Тогда уравнение (2) имеет только один корень x3. Итого два корня. Не подходит.
Теперь случай IV: a=2 и a=4 уже исключены (дискриминанты нулевые, будет меньше четырёх корней).
Случай V: a<0. Рассмотрим, например, a<0. Вернёмся к общим формулам. При a<0 удобно разбить на a<0, 0<a<2 уже рассмотрели. При a<0 используем общие выражения, но можно проверить условия. Возьмём, например, a=−1. Тогда:
Для (1): ∣a−4∣=5, корни: x1=412+1−15=4−2=−0.5 — не подходит (должен быть x⩾0); x2=412+1+15=428=7 — подходит. Так что только один корень из (1). Для (2): ∣a−2∣=3, корни: x3=41−6−9=4−14=−3.5 — подходит; x4=41−6+9=44=1 — не подходит (x<0). Значит, из (2) тоже один корень. Всего два корня. Поэтому при a<0 не может быть четырёх корней. Более системно: при a<0 в случае I мы имели условие a>0 для неотрицательности x1. Значит, при a<0 хотя бы один корень из (1) станет отрицательным, и их будет меньше двух. Поэтому a должно быть положительным.
Итак, объединяем все подходящие промежутки: из случая I: 0<a<2, из случая II: 2<a<4, из случая III: 4<a<6. В точке a=2 и a=4 не подходят, в точке a=6 не подходит. Также a=0 не подходит. Можно записать как объединение интервалов: (0;2)∪(2;4)∪(4;6).
Проверим граничные значения: при a=0 — три корня, при a=2 — три корня? При a=2: уравнение (1): D1=9(2−4)2=36, корни: x1=412−2−3⋅2=410−6=1, x2=412−2+6=416=4. Оба неотрицательны. Уравнение (2): D2=0, корень x=−2 (кратности 2). Но условие x<0 для уравнения (2): корень x=−2 подходит, но он один (двукратный). Итого три различных корня: -2, 1, 4. Не четыре. При a=4: уравнение (1): D1=0, корень x=2 (двукратный); уравнение (2): D2=9(4−2)2=36, корни: x3=4−4−6−3⋅2=4−10−6=−4, x4=4−4−6+6=4−4=−1. Итого корни: 2, 2, -4, -1 — три различных. Не четыре.
Таким образом, ответ.
Ответ: (0;2)∪(2;4)∪(4;6).
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ