Задача №15367

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}(x^2-5x-y+3)\cdot \sqrt{x-y+3}=0\\ y=ax+a\end{array}$$

имеет ровно два различных решения.

Первое уравнение задаёт множество $M\text{:}$ дуга параболы $y=x^2-5x+3$ при $x\in [0,6]$ (здесь $y\le x+3$) и прямая $y=x+3\text{.}$

Второе: $y=a(x+1)$ — пучок прямых через $(-1,0)\text{.}$

Особые значения:

• Через $A(0,3)\text{:}$ $a=3\text{.}$
• Через $B(6,9)\text{:}$ $a=\frac{9}{7}\text{.}$
• Касание с параболой: дискриминант $D=(a+1)(a+13)=0$ даёт на дуге только $a=-1$ (точка $(2,-3)$).
• $a=1\text{:}$ прямая параллельна $y=x+3\text{.}$

Анализ количества пересечений прямой с $M\text{:}$
1. $a<-1\text{:}$ одно пересечение с прямой $y=x+3$ — одно решение.
2. $a=-1\text{:}$ касание с параболой и пересечение с прямой $y=x+3$ — два решения.
3. $-1<a<\frac{9}{7}\text{,}$ $a\ne 1\text{:}$ два с параболой и одно с прямой — три решения.
4. $a=\frac{9}{7}\text{:}$ прямая проходит через $B\text{,}$ ещё одно пересечение с параболой — два решения.
5. $a=1\text{:}$ два пересечения с параболой, с прямой нет — два решения.
6. $\frac{9}{7}<a<3\text{:}$ одно с параболой и одно с прямой — два решения.
7. $a=3\text{:}$ только точка $A$ — одно решение.
8. $a>3\text{:}$ одно с прямой — одно решение.

Ответ: $a=-1\text{,}$ $a=1\text{,}$ $a=\frac{9}{7}\text{,}$ $\frac{9}{7}<a<3\text{.}$