Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений cases (x^2 - 5x - y + 3) *sqrt(x - y + 3) = 0 [2pt] y = ax + a cases имеет ровно два различных решения.
Первое уравнение задаёт множество M: дуга параболы y=x^2-5x+3 при xin [0,6] (здесь y<= x+3) и прямая y=x+3. Второе: y=a(x+1) — пучок прямых через (-1,0). Особые значения: Через A(0,3): a=3. Через B(6,9): a=97. Касание с параболой: дискриминант D=(a+1)(a+13)=0 даёт на дуге только a=-1 (точка (2,-3)). a=1: прямая параллельна y=x+3. Анализ количества пересечений прямой с M: a < -1: одно пересечение с прямой y=x+3 — одно решение. a=-1: касание с параболой и пересечение с прямой y=x+3 — два решения. -1 < a < 97, a!= 1: два с параболой и одно с прямой — три решения. a=97: прямая проходит через B, ещё одно пересечение с параболой — два решения. a=1: два пересечения с параболой, с прямой нет — два решения. 97 < a < 3: одно с параболой и одно с прямой — два решения. a=3: только точка A — одно решение. a>3: одно с прямой — одно решение. Ответ: a=-1, a=1, a=97, 97 < a < 3.
\(a\in \{-1, 1\}\cup\left[\dfrac97, 3\right)\)