Задача №15366

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{7x-4}\cdot \ln (x^2-8x+17-a^2)=0$$

имеет на отрезке $[0;4]$ ровно один корень.

Область определения исходного уравнения на отрезке $[0;4]\text{:}$

$$7x-4\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{4}{7},x^2-8x+17-a^2>0.$$

Значит, корни ищем на отрезке

$$[\frac{4}{7};4],$$

причём аргумент логарифма должен быть положительным.

Уравнение

$$\sqrt{7x-4}\cdot \ln (x^2-8x+17-a^2)=0$$

равносильно совокупности (с учётом области определения):

1. $\sqrt{7x-4}=0\text{.}$ Тогда

$$x=\frac{4}{7}.$$

Этот корень допустим, если

$${\left(\frac{4}{7}\right)}^2-8\cdot \frac{4}{7}+17-a^2>0\Rightarrow \frac{625}{49}-a^2>0\Rightarrow |a|<\frac{25}{7}.$$

2. $\ln (x^2-8x+17-a^2)=0\text{.}$ Тогда

$$x^2-8x+17-a^2=1\Rightarrow (x-4{)}^2=a^2\Rightarrow x=4\pm a.$$

Эти корни допустимы, если лежат на отрезке

$$[\frac{4}{7};4]$$

(при этом аргумент логарифма равен 1 и положителен автоматически).

Для $x=4+a\text{:}$

$$\frac{4}{7}\le 4+a\le 4\Rightarrow -\frac{24}{7}\le a\le 0.$$

Для $x=4-a\text{:}$

$$\frac{4}{7}\le 4-a\le 4\Rightarrow 0\le a\le \frac{24}{7}.$$

Теперь считаем число различных корней.

• Если $|a|\ge \frac{25}{7}\text{,}$ то $x=\frac{4}{7}$ недопустим, а корни вида $4\pm a$ не могут лежать в отрезке

$$[\frac{4}{7};4],$$

так как для этого нужно $|a|\le \frac{24}{7}\text{.}$ Следовательно, корней на $[0;4]$ нет.

• Пусть $|a|<\frac{25}{7}\text{.}$ Тогда корень $x=\frac{4}{7}$ существует.
  • При $-\frac{24}{7}<a<0$ появляется второй корень $x=4+a\in (\frac{4}{7};4)\text{.}$
  • При $0<a<\frac{24}{7}$ появляется второй корень $x=4-a\in (\frac{4}{7};4)\text{.}$
  • При $a=0$ есть корни $x=\frac{4}{7}$ и $x=4$ (два различных).
  • Чтобы дополнительных корней не было, нужно:
    • при $a<0\text{:}$ $4+a\le \frac{4}{7}\Rightarrow a\le -\frac{24}{7}\text{;}$
    • при $a>0\text{:}$ $4-a\le \frac{4}{7}\Rightarrow a\ge \frac{24}{7}\text{.}$
      С учётом $|a|<\frac{25}{7}$ получаем

$$-\frac{25}{7}<a\le -\frac{24}{7}\text{или}\frac{24}{7}\le a<\frac{25}{7}.$$

Ответ:

$$-\frac{25}{7}<a\le -\frac{24}{7}\text{или}\frac{24}{7}\le a<\frac{25}{7}.$$