Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение sqrt(7x-4)*ln(x^2-8x+17-a^2) = 0 имеет на отрезке [0; 4] ровно один корень.

Область определения исходного уравнения на отрезке [0;4]: 7x-4>= 0=> x>=(4)/(7), x^2-8x+17-a^2>0. Значит, корни ищем на отрезке [(4)/(7);4], причём аргумент логарифма должен быть положительным. Уравнение sqrt(7x-4)*ln(x^2-8x+17-a^2)=0 равносильно совокупности (с учётом области определения): 1. sqrt(7x-4)=0. Тогда x=(4)/(7). Этот корень допустим, если ((4)/(7))^2-8*(4)/(7)+17-a^2>0 =>(625)/(49)-a^2>0 => |a|<(25)/(7). 2. ln(x^2-8x+17-a^2)=0. Тогда x^2-8x+17-a^2=1=> (x-4)^2=a^2=> x=4+- a. Эти корни допустимы, если лежат на отрезке [(4)/(7);4] (при этом аргумент логарифма равен 1 и положителен автоматически). Для x=4+a: (4)/(7)<= 4+a<= 4=> -(24)/(7)<= a<= 0. Для x=4-a: (4)/(7)<= 4-a<= 4=> 0<= a<=(24)/(7). Теперь считаем число различных корней. - Если |a|>=(25)/(7), то x=(4)/(7) недопустим, а корни вида 4+- a не могут лежать в отрезке [(4)/(7);4], так как для этого нужно |a|<=(24)/(7). Следовательно, корней на [0;4] нет. - Пусть |a|<(25)/(7). Тогда корень x=(4)/(7) существует. - При -(24)/(7)<a<0 появляется второй корень x=4+ain((4)/(7);4). - При 0<a<(24)/(7) появляется второй корень x=4-ain((4)/(7);4). - При a=0 есть корни x=(4)/(7) и x=4 (два различных). - Чтобы дополнительных корней не было, нужно: - при a<0: 4+a<=(4)/(7)=> a<= -(24)/(7); - при a>0: 4-a<=(4)/(7)=> a>=(24)/(7). С учётом |a|<(25)/(7) получаем -(25)/(7)<a<= -(24)/(7) или (24)/(7)<= a<(25)/(7). Ответ: -(25)/(7) < a<= -(24)/(7) или (24)/(7)<= a < (25)/(7).

\(a\in\left(-\dfrac{25}{7};-\dfrac{24}{7}\right]\cup\left[\dfrac{24}{7};\dfrac{25}{7}\right)\)