Задача №15361

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$(5x-2)\cdot \ln (x+a)=(5x-2)\cdot \ln (2x-a)$$

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]\text{.}$

Уравнение $(5x-2)\ln (x+a)=(5x-2)\ln (2x-a)\text{.}$
Переносим в одну сторону:

$$(5x-2)[\ln (x+a)-\ln (2x-a)]=0.$$

Отсюда:

1) $5x-2=0\text{,}$ тогда

$$x=\frac{2}{5}.$$

2) $\ln (x+a)=\ln (2x-a)\text{,}$ тогда

$$x+a=2x-a\Rightarrow x=2a.$$

ОДЗ: $x+a>0$ и $2x-a>0\text{.}$

Корень $x=\frac{2}{5}$ существует при выполнении ОДЗ:

$$\frac{2}{5}+a>0\Rightarrow a>-\frac{2}{5},$$ $$2\cdot \frac{2}{5}-a>0\Rightarrow a<\frac{4}{5}.$$

Таким образом, при $a\in \left(-\frac{2}{5};\frac{4}{5}\right)$ корень $x=\frac{2}{5}$ лежит на отрезке $[0;1]$ и удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x=2a$ существует при:

$$2a+a=3a>0\Rightarrow a>0,$$ $$4a-a=3a>0\Rightarrow a>0,$$

и должен лежать в $[0;1]\text{:}$

$$0⩽2a⩽1\Rightarrow 0⩽a⩽\frac{1}{2}.$$

С учётом ОДЗ: $a\in \left(0;\frac{1}{2}\right]$ (при $a=0$ аргументы логарифмов не положительны).

Уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$ в случаях:

• Корень $x=\frac{2}{5}$ единственный, когда $x=2a$ не существует или не лежит в $[0;1]\text{.}$
• Корни совпадают:

$$\frac{2}{5}=2a\Rightarrow a=\frac{1}{5}.$$

Разбор:

1) $a\in \left(-\frac{2}{5};0\right]\text{:}$ только $x=\frac{2}{5}$ (так как $x=2a$ не удовлетворяет ОДЗ или $a⩽0$).

2) $a=\frac{1}{5}\text{:}$ корни совпадают, один корень.

3) $a\in \left(\frac{1}{2};\frac{4}{5}\right)\text{:}$ только $x=\frac{2}{5}$ (так как $x=2a>1$).

В остальных случаях: при $a\in \left(0;\frac{1}{2}\right]\text{,}$ $a\ne \frac{1}{5}$ — два корня; при $a⩽-\frac{2}{5}$ или $a⩾\frac{4}{5}$ — корней нет.