Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (5x - 2) *ln(x + a) = (5x - 2) *ln(2x - a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Уравнение (5x - 2) ln(x + a) = (5x - 2) ln(2x - a). Переносим в одну сторону: (5x - 2)[ln(x + a) - ln(2x - a)] = 0. Отсюда: 1) 5x - 2 = 0, тогда x = (2)/(5). 2) ln(x + a) = ln(2x - a), тогда x + a = 2x - a=> x = 2a. ОДЗ: x + a > 0 и 2x - a > 0. Корень x = (2)/(5) существует при выполнении ОДЗ: (2)/(5) + a > 0=> a > -(2)/(5), 2*(2)/(5) - a > 0=> a < (4)/(5). Таким образом, при ain(-(2)/(5); (4)/(5)) корень x = (2)/(5) лежит на отрезке [0;1] и удовлетворяет ОДЗ. Корень x = 2a существует при: 2a + a = 3a > 0=> a > 0, 4a - a = 3a > 0=> a > 0, и должен лежать в [0;1]: 0 2a 1=> 0 a (1)/(2). С учётом ОДЗ: ain(0; (1)/(2)] (при a = 0 аргументы логарифмов не положительны). Уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0;1] в случаях: - Корень x = (2)/(5) единственный, когда x = 2a не существует или не лежит в [0;1]. - Корни совпадают: (2)/(5) = 2a=> a = (1)/(5). Разбор: 1) ain(-(2)/(5); 0]: только x = (2)/(5) (так как x = 2a не удовлетворяет ОДЗ или a 0). 2) a = (1)/(5): корни совпадают, один корень. 3) ain((1)/(2); (4)/(5)): только x = (2)/(5) (так как x = 2a > 1). В остальных случаях: при ain(0; (1)/(2)], a!=(1)/(5) — два корня; при a -(2)/(5) или a (4)/(5) — корней нет.

\(a\in\left(-\dfrac{2}{5}, 0\right] \cup\left\{\dfrac{1}{5}\right\}\cup\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{4}{5}\right)\)