Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x^4 + (a - 3)^2 = |x - a + 3| + |x + a - 3| либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Положим t=a-3, s=|t|>= 0. Тогда уравнение равносильно x^4+s^2=|x-s|+|x+s|. Обе части чётные по x, значит множество решений симметрично: если x!= 0 — решение, то и -x — решение. Поэтому единственное решение возможно только в случае, когда единственным решением является x=0. Рассмотрим непрерывную чётную функцию F(x)=x^4+s^2-(|x-s|+|x+s|). Тогда решения исходного уравнения — это нули F. 1) s=0 (то есть a=3). Тогда F(x)=x^4-2|x|=|x|(|x|^3-2), откуда x=0 и x=+-[3]2. Решений три, не подходит. 2) 0<s<2. Имеем F(0)=s^2-2s=s(s-2)<0. При |x|: |x-s|+|x+s| 2|x|, поэтому F(x) x^4-2|x| +inf. По теореме о промежуточных значениях существует x_0>0 такое, что F(x_0)=0. Тогда и -x_0 — корень. Значит, решений как минимум два, не подходит. 3) s=2. Тогда для |x|<= 2: |x-2|+|x+2|=4, и уравнение даёт x^4+4=4=> x=0. Для |x|>= 2: |x-2|+|x+2|=2|x|, и F(x)=x^4+4-2|x|. При x>= 2 функция (x)=x^4+4-2x возрастает, так как '(x)=4x^3-2>0. Кроме того, (2)=16+4-4=16>0, значит, (x)>0 при всех x>= 2. Следовательно, при |x|>= 2 корней нет, и единственный корень — x=0. Этот случай подходит. 4) s>2. Если |x|<= s, то |x-s|+|x+s|=2s, поэтому F(x)=x^4+s^2-2s>= s^2-2s=s(s-2)>0. Если |x|>= s, то |x-s|+|x+s|=2|x|. При x>= s рассмотрим (x)=x^4+s^2-2x. Тогда '(x)=4x^3-2>0 (так как x>= s>2), то есть возрастает на [s,inf). При этом (s)=s^4+s^2-2s=s(s^3+s-2)>0. Значит, (x)>0 при всех x>= s, а по чётности F(x)>0 и при x<= -s. Следовательно, корней нет. Этот случай подходит. Итак, подходят ровно s>= 2, причём при s=2 решение единственное, а при s>2 решений нет. Возвращаясь к параметру: Ответ: |a-3|>= 2 a<= 1 или a>= 5.

\(a\in(-\infty,1]\cup[5,+\infty)\)