Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x4+(a−3)2=∣x−a+3∣+∣x+a−3∣либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
Положим t=a−3, s=∣t∣≥0. Тогда уравнение равносильно
x4+s2=∣x−s∣+∣x+s∣.Обе части чётные по x, значит множество решений симметрично: если x=0 — решение, то и −x — решение. Поэтому единственное решение возможно только в случае, когда единственным решением является x=0.
Рассмотрим непрерывную чётную функцию
F(x)=x4+s2−(∣x−s∣+∣x+s∣).Тогда решения исходного уравнения — это нули F.
1) s=0 (то есть a=3). Тогда
F(x)=x4−2∣x∣=∣x∣(∣x∣3−2),откуда x=0 и x=±32. Решений три, не подходит.
2) 0<s<2. Имеем
F(0)=s2−2s=s(s−2)<0.При ∣x∣→∞: ∣x−s∣+∣x+s∣∼2∣x∣, поэтому F(x)∼x4−2∣x∣→+∞. По теореме о промежуточных значениях существует x0>0 такое, что F(x0)=0. Тогда и −x0 — корень. Значит, решений как минимум два, не подходит.
3) s=2. Тогда для ∣x∣≤2: ∣x−2∣+∣x+2∣=4, и уравнение даёт x4+4=4⇒x=0. Для ∣x∣≥2: ∣x−2∣+∣x+2∣=2∣x∣, и
F(x)=x4+4−2∣x∣.При x≥2 функция ψ(x)=x4+4−2x возрастает, так как ψ′(x)=4x3−2>0. Кроме того, ψ(2)=16+4−4=16>0, значит, ψ(x)>0 при всех x≥2. Следовательно, при ∣x∣≥2 корней нет, и единственный корень — x=0. Этот случай подходит.
4) s>2. Если ∣x∣≤s, то ∣x−s∣+∣x+s∣=2s, поэтому
F(x)=x4+s2−2s≥s2−2s=s(s−2)>0.Если ∣x∣≥s, то ∣x−s∣+∣x+s∣=2∣x∣. При x≥s рассмотрим ψ(x)=x4+s2−2x. Тогда ψ′(x)=4x3−2>0 (так как x≥s>2), то есть ψ возрастает на [s,∞). При этом
ψ(s)=s4+s2−2s=s(s3+s−2)>0.Значит, ψ(x)>0 при всех x≥s, а по чётности F(x)>0 и при x≤−s. Следовательно, корней нет. Этот случай подходит.
Итак, подходят ровно s≥2, причём при s=2 решение единственное, а при s>2 решений нет. Возвращаясь к параметру:
Ответ:
∣a−3∣≥2⟺a≤1 или a≥5.Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ