Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение (x + ln(x + a))^2 = (x - ln(x + a))^2 имеет единственное решение на отрезке [0; 1].

Уравнение (x + ln(x + a))^2 = (x - ln(x + a))^2 преобразуем по разности квадратов: (x + ln(x+a) - (x - ln(x+a)))(x + ln(x+a) + x - ln(x+a)) = 0=> 2ln(x+a) * 2x = 0. Получаем совокупность: x = 0 или ln(x+a) = 0=> x+a = 1. ОДЗ: x+a > 0. Ищем единственное решение на отрезке [0;1]. 1. x=0: решение при a > 0 (чтобы 0+a>0). 2. x=1-a: решение при 0 1-a 1=> 0 a 1. Если a=1, то оба условия дают x=0 — одно решение. Если a > 1, то только x=0 (так как 1-a < 0). Если 0 < a < 1, то оба корня лежат в отрезке — два решения. Если a=0, то x=0 не входит (ОДЗ: 0+0=0 не >0), а x=1 — решение. Если a < 0, то x=0 не входит (так как a<0), а 1-a > 1 — нет решений. Итого единственное решение при a=0 или a 1.

\(a=0\text{ или }a\ge 1\)