Задача №15358

Найдите все значения $a\text{,}$ для каждого из которых уравнение

$$(x+\ln (x+a){)}^2=(x-\ln (x+a){)}^2$$

имеет единственное решение на отрезке $[0;1]\text{.}$

Уравнение $(x+\ln (x+a){)}^2=(x-\ln (x+a){)}^2$ преобразуем по разности квадратов:

$$(x+\ln (x+a)-(x-\ln (x+a)))(x+\ln (x+a)+x-\ln (x+a))=0\Rightarrow 2\ln (x+a)\cdot 2x=0.$$

Получаем совокупность:

$$x=0\text{или}\ln (x+a)=0\Rightarrow x+a=1.$$

ОДЗ: $x+a>0\text{.}$ Ищем единственное решение на отрезке $[0;1]\text{.}$

1. $x=0\text{:}$ решение при $a>0$ (чтобы $0+a>0$).
2. $x=1-a\text{:}$ решение при $0⩽1-a⩽1\Rightarrow 0⩽a⩽1\text{.}$

Если $a=1\text{,}$ то оба условия дают $x=0$ — одно решение.
Если $a>1\text{,}$ то только $x=0$ (так как $1-a<0$).
Если $0<a<1\text{,}$ то оба корня лежат в отрезке — два решения.
Если $a=0\text{,}$ то $x=0$ не входит (ОДЗ: $0+0=0$ не >0), а $x=1$ — решение.
Если $a<0\text{,}$ то $x=0$ не входит (так как $a<0$), а $1-a>1$ — нет решений.

Итого единственное решение при $a=0$ или $a⩾1\text{.}$