Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений cases ax^2 + ay^2 + 2ax + (a+2)y + 1 = 0 [2pt] xy + 1 = x + y cases имеет ровно четыре различных решения.

Второе уравнение преобразуется: xy+1=x+y=> (x-1)(y-1)=0 , откуда x=1 или y=1 (две прямые, пересекающиеся в точке (1,1) ). Первое уравнение при a!= 0 приводим к виду окружности: ( x+1)^2 + ( y + (a+2)/(2a))^2 = (5a^2+4)/(4a^2) С центром и радиусом: C(-1,-(a+2)/(2a)), R = (sqrt(5a^2+4))/(2|a|). Чтобы система имела ровно четыре различных решения, окружность должна пересекать каждую прямую в двух точках, а точка (1,1) не должна лежать на окружности. 1. Пересечение с прямой x=1 : расстояние от центра до прямой d_1 = | -1-1 | = 2 . Условие 2 < R : 2 < (sqrt(5a^2+4))/(2|a|)=> 4|a| < sqrt(5a^2+4)=> 16a^2 < 5a^2+4=> 11a^2 < 4=> |a| < (2)/(sqrt(11)). 2. Пересечение с прямой y=1 : расстояние d_2 = | -(a+2)/(2a) - 1| = (|3a+2|)/(2|a|). Условие d_2 < R : (|3a+2|)/(2|a|) < (sqrt(5a^2+4))/(2|a|)=> |3a+2| < sqrt(5a^2+4)=> 9a^2+12a+4 < 5a^2+4=> 4a(a+3) < 0=> ain (-3,0). 3. Точка (1,1) не лежит на окружности: подстановка в первое уравнение даёт 5a+3=0=> a = -(3)/(5), исключаем это значение. Пересекая условия |a| < (2)/(sqrt(11)) и ain (-3,0), получаем ain( -(2)/(sqrt(11)),0), исключая a = -(3)/(5) . Ответ: ain( -(2)/(sqrt(11)),0) -(3)/(5) .

\( a\in\left( -\dfrac{2}{\sqrt{11}},\, -\dfrac{3}{5}\right) \cup\left( -\dfrac{3}{5},\, 0\right) \)