Задача №15356

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}a{x}^2+a{y}^2+2ax+(a+2)y+1=0\\ xy+1=x+y\end{array}$$

имеет ровно четыре различных решения.

Второе уравнение преобразуется: $xy+1=x+y\Rightarrow (x-1)(y-1)=0\text{,}$ откуда $x=1$ или $y=1$ (две прямые, пересекающиеся в точке $(1,1)$).

Первое уравнение при $a\ne 0$ приводим к виду окружности:

$${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+\frac{a+2}{2a}\right)}^2=\frac{5a^2+4}{4a^2}$$

С центром и радиусом:

$$C\left(-1,-\frac{a+2}{2a}\right),R=\frac{\sqrt{5a^2+4}}{2|a|}.$$

Чтобы система имела ровно четыре различных решения, окружность должна пересекать каждую прямую в двух точках, а точка $(1,1)$ не должна лежать на окружности.

1. Пересечение с прямой $x=1\text{:}$ расстояние от центра до прямой $d_1=|-1-1|=2\text{.}$ Условие $2<R\text{:}$

$$2<\frac{\sqrt{5a^2+4}}{2|a|}\Rightarrow 4|a|<\sqrt{5a^2+4}\Rightarrow 16a^2<5a^2+4\Rightarrow 11a^2<4\Rightarrow |a|<\frac{2}{\sqrt{11}}.$$

2. Пересечение с прямой $y=1\text{:}$ расстояние

$$d_2=\left|-\frac{a+2}{2a}-1\right|=\frac{|3a+2|}{2|a|}.$$

Условие $d_2<R\text{:}$

$$\frac{|3a+2|}{2|a|}<\frac{\sqrt{5a^2+4}}{2|a|}\Rightarrow |3a+2|<\sqrt{5a^2+4}\Rightarrow 9a^2+12a+4<5a^2+4\Rightarrow 4a(a+3)<0\Rightarrow a\in (-3,0).$$

3. Точка $(1,1)$ не лежит на окружности: подстановка в первое уравнение даёт

$$5a+3=0\Rightarrow a=-\frac{3}{5},$$

исключаем это значение.

Пересекая условия

$$|a|<\frac{2}{\sqrt{11}}\text{и}a\in (-3,0),$$

получаем

$$a\in \left(-\frac{2}{\sqrt{11}},0\right),$$

исключая $a=-\frac{3}{5}\text{.}$

Ответ: $a\in \left(-\frac{2}{\sqrt{11}},0\right)\setminus \left\{-\frac{3}{5}\right\}\text{.}$