Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t^2 тыс. рублей в конце года t ( t = 1; 2; ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 25%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Если продать бумаги в конце года k, то выручка составит k^2 тыс. рублей. Эти деньги кладутся в банк под 25% годовых на 20-k лет. К концу 20 года сумма будет: f(k) = k^2* (1.25)^(20-k). Исследуем функцию на максимум при целых k от 1 до 20. Рассмотрим отношение: (f(k+1))/(f(k)) = ((k+1)/(k))^2*(1)/(1.25) = ((k+1)/(k))^2* 0.8. Функция возрастает, когда это отношение больше 1: ((k+1)/(k))^2 > 1.25 => (k+1)/(k) > sqrt(1.25)~ 1.118 => k < (1)/(0.118)~ 8.47. Значит, до k=8 функция возрастает, после k=9 убывает. Сравним значения при k=8,9,10: f(8)=64* (1.25)^(12)~ 64* 14.552 = 931.328, f(9)=81* (1.25)^(11)~ 81* 11.641 = 942.921, f(10)=100* (1.25)^(10)~ 100* 9.313 = 931.3. Ответ: 9

\(9\)