Задача №15354

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{x+2a}\cdot \ln (x-a)=(x-1)\cdot \ln (x-a)$$

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]\text{.}$

Уравнение $\sqrt{x+2a}\cdot \ln (x-a)=(x-1)\cdot \ln (x-a)$ равносильно совокупности:

$$\ln (x-a)=0\text{или}\sqrt{x+2a}=x-1.$$

1) $\ln (x-a)=0\Rightarrow x-a=1\Rightarrow x=a+1\text{.}$ Этот корень лежит на отрезке $[0;1]\text{,}$ если $0\le a+1\le 1\Rightarrow -1\le a\le 0\text{.}$ Также необходимы условия ОДЗ: $x+2a\ge 0$ и $x>a\text{.}$ Для $x=a+1$ условие $x+2a\ge 0$ даёт

$$3a+1\ge 0\Rightarrow a\ge -\frac{1}{3}.$$

Таким образом, первый корень существует на $[0;1]$ при

$$a\in \left[-\frac{1}{3};0\right].$$

2) Уравнение $\sqrt{x+2a}=x-1$ требует $x\ge 1\text{.}$ Возводя в квадрат: $x+2a=(x-1{)}^2\Rightarrow x^2-3x+1-2a=0\text{.}$ Дискриминант $D=5+8a\text{.}$ Корни:

$$x=\frac{3\pm \sqrt{5+8a}}{2}.$$

На отрезке $[0;1]$ может попасть только $x=1$ (при $x\ge 1$). Подстановка $x=1$ даёт

$$\sqrt{1+2a}=0\Rightarrow a=-\frac{1}{2}.$$

При этом проверяем ОДЗ: $x>a$ выполнено, $x+2a=0$ — корень определён, и $\ln (x-a)\ne 0$ (так как

$$x-a=\frac{3}{2}).$$

Значит, при $a=-\frac{1}{2}$ имеется корень $x=1\text{.}$

Другие корни второго уравнения на $[0;1]$ отсутствуют: при $a>-\frac{1}{2}$ корень

$$x_1=\frac{3-\sqrt{5+8a}}{2}<1$$

и не удовлетворяет условию $x\ge 1\text{;}$ при $a<-\frac{1}{2}$ корень $x_1\ge 1$ но $x_1>1\text{,}$ а при $a=-\frac{1}{2}$ мы уже учли.

Объединяя, получаем, что ровно один корень на $[0;1]$ будет при $a\in \left[-\frac{1}{3};0\right]$ и при $a=-\frac{1}{2}\text{.}$

Ответ:

$$a\in \left[-\frac{1}{3};0\right]\text{или}a=-\frac{1}{2}.$$