Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение sqrt(x+2a)*ln(x-a) = (x-1) *ln(x-a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Уравнение sqrt(x+2a)*ln(x-a) = (x-1) *ln(x-a) равносильно совокупности: ln(x-a)=0 или sqrt(x+2a)=x-1. 1) ln(x-a)=0=> x-a=1=> x=a+1. Этот корень лежит на отрезке [0; 1], если 0<= a+1<= 1=> -1<= a<= 0. Также необходимы условия ОДЗ: x+2a>= 0 и x > a. Для x=a+1 условие x+2a>= 0 даёт 3a+1>= 0=> a>= -(1)/(3). Таким образом, первый корень существует на [0; 1] при ain[ -(1)/(3); 0]. 2) Уравнение sqrt(x+2a)=x-1 требует x>= 1. Возводя в квадрат: x+2a=(x-1)^2=> x^2-3x+1-2a=0. Дискриминант D=5+8a. Корни: x = (3+-sqrt(5+8a))/(2). На отрезке [0; 1] может попасть только x=1 (при x>= 1). Подстановка x=1 даёт sqrt(1+2a) = 0=> a = -(1)/(2). При этом проверяем ОДЗ: x > a выполнено, x+2a=0 — корень определён, и ln(x-a) != 0 (так как x-a = (3)/(2)). Значит, при a=-(1)/(2) имеется корень x=1. Другие корни второго уравнения на [0; 1] отсутствуют: при a > -(1)/(2) корень x_1 = (3 - sqrt(5+8a))/(2) < 1 и не удовлетворяет условию x>= 1; при a < -(1)/(2) корень x_1>= 1 но x_1 > 1, а при a=-(1)/(2) мы уже учли. Объединяя, получаем, что ровно один корень на [0; 1] будет при ain[ -(1)/(3); 0] и при a = -(1)/(2). Ответ: ain[ -(1)/(3); 0] или a = -(1)/(2).

\(a\in [-\dfrac13, 0] \cup \{-\dfrac12\}\)