Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение a(x + (4)/(x))^2 + 2(x + (4)/(x)) - 25a + 10 = 0 имеет ровно два различных корня.

Введём замену t = x + (4)/(x). Тогда уравнение примет вид: a t^2 + 2t - 25a + 10 = 0. Заметим, что tin (-inf, -4] U [4, +inf) , причём уравнение x + (4)/(x) = t имеет два различных корня при |t| > 4 , один корень при |t| = 4 и не имеет корней при |t| < 4 . 1. Если a = 0 , уравнение становится линейным: 2t + 10 = 0=> t = -5. Так как |t| > 4 , получаем два различных корня по x . 2. Если a!= 0 , уравнение квадратное относительно t . Его дискриминант: D = 4 - 4a(-25a+10) = 4(25a^2 - 10a + 1) = 4(5a-1)^2>= 0. Корни: t_(1,2) = (-1+- |5a-1|)/(a). а) При a = 0.2 имеем единственный корень t = -5 (кратности 2), который даёт два корня по x . б) При a!= 0.2 корни t_1 и t_2 различны. Чтобы исходное уравнение имело ровно два корня по x , необходимо и достаточно, чтобы ровно один из корней t удовлетворял условию |t| > 4 , а другой — условию |t| < 4 (тогда первый даст два корня, второй — ни одного). Это условие равносильно тому, что значения квадратичной функции f(t) = a t^2 + 2t - 25a + 10 на концах отрезка [-4,4] имеют разные знаки, т.е. f(4) * f(-4) < 0 . Вычислим: f(4) = 16a + 8 - 25a + 10 = 18 - 9a, f(-4) = 16a - 8 - 25a + 10 = 2 - 9a. Требуемое неравенство: (18-9a)(2-9a) < 0 (2-a)(2-9a) < 0. Решая, находим (2)/(9) < a < 2 . При a = (2)/(9) и a = 2 один из корней равен +- 4 , что приводит к трём корням по x , поэтому эти значения не подходят. Таким образом, объединяя все случаи, получаем: Ответ: a = 0 , a = 0.2 и (2)/(9) < a < 2 .

\( a = 0, a = \dfrac{1}{5}, \dfrac{2}{9} < a < 2 \)