Задача №15353

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$a{\left(x+\frac{4}{x}\right)}^2+2\left(x+\frac{4}{x}\right)-25a+10=0$$

имеет ровно два различных корня.

Введём замену

$$t=x+\frac{4}{x}.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$a{t}^2+2t-25a+10=0.$$

Заметим, что $t\in (-\infty ,-4]\cup [4,+\infty )\text{,}$ причём уравнение $x+\frac{4}{x}=t$ имеет два различных корня при $|t|>4\text{,}$ один корень при $|t|=4$ и не имеет корней при $|t|<4\text{.}$

1. Если $a=0\text{,}$ уравнение становится линейным:

$$2t+10=0\Rightarrow t=-5.$$

Так как $|t|>4\text{,}$ получаем два различных корня по $x\text{.}$

2. Если $a\ne 0\text{,}$ уравнение квадратное относительно $t\text{.}$ Его дискриминант:

$$D=4-4a(-25a+10)=4(25a^2-10a+1)=4(5a-1{)}^2\ge 0.$$

Корни:

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm |5a-1|}{a}.$$

а) При $a=0.2$ имеем единственный корень $t=-5$ (кратности 2), который даёт два корня по $x\text{.}$

б) При $a\ne 0.2$ корни $t_1$ и $t_2$ различны. Чтобы исходное уравнение имело ровно два корня по $x\text{,}$ необходимо и достаточно, чтобы ровно один из корней $t$ удовлетворял условию $|t|>4\text{,}$ а другой — условию $|t|<4$ (тогда первый даст два корня, второй — ни одного). Это условие равносильно тому, что значения квадратичной функции $f(t)=a{t}^2+2t-25a+10$ на концах отрезка $[-4,4]$ имеют разные знаки, т.е. $f(4)\cdot f(-4)<0\text{.}$

Вычислим:

$$f(4)=16a+8-25a+10=18-9a,$$ $$f(-4)=16a-8-25a+10=2-9a.$$

Требуемое неравенство:

$$(18-9a)(2-9a)<0⟺(2-a)(2-9a)<0.$$

Решая, находим $\frac{2}{9}<a<2\text{.}$

При $a=\frac{2}{9}$ и $a=2$ один из корней равен $\pm 4\text{,}$ что приводит к трём корням по $x\text{,}$ поэтому эти значения не подходят.

Таким образом, объединяя все случаи, получаем:

Ответ: $a=0\text{,}$ $a=0.2$ и $\frac{2}{9}<a<2\text{.}$