Задача №15352

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{4x-1}\cdot \ln (x^2-2x+2-a^2)=0$$

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]\text{.}$

Уравнение $\sqrt{4x-1}\cdot \ln (x^2-2x+2-a^2)=0$ на отрезке $[0;1]\text{.}$

ОДЗ:

$$4x-1⩾0\Rightarrow x⩾\frac{1}{4},$$ $$x^2-2x+2-a^2>0.$$

Равносильно совокупности:

$$\sqrt{4x-1}=0\text{или}\ln (x^2-2x+2-a^2)=0.$$

1. Первое уравнение:

$$\sqrt{4x-1}=0\Rightarrow x=\frac{1}{4}.$$

Этот корень лежит в $[0;1]$ и является решением при условии $x^2-2x+2-a^2>0$ в этой точке:

$${\left(\frac{1}{4}\right)}^2-2\cdot \frac{1}{4}+2-a^2>0\Rightarrow a^2<\frac{25}{16}\Rightarrow |a|<\frac{5}{4}.$$

Таким образом, корень $x=\frac{1}{4}$ существует при

$$a\in \left(-\frac{5}{4};\frac{5}{4}\right).$$

2. Второе уравнение:

$$\ln (x^2-2x+2-a^2)=0\Rightarrow x^2-2x+2-a^2=1\Rightarrow (x-1{)}^2=a^2\Rightarrow x=1+a\text{ или }x=1-a.$$

Эти корни должны удовлетворять $x\in [0;1]$ и $x⩾\frac{1}{4}\text{.}$

• Для $x=1+a\text{:}$

$$0⩽1+a⩽1\Rightarrow -1⩽a⩽0,$$

и

$$1+a⩾\frac{1}{4}\Rightarrow a⩾-\frac{3}{4}.$$

Итого:

$$a\in \left[-\frac{3}{4};0\right].$$

• Для $x=1-a\text{:}$

$$0⩽1-a⩽1\Rightarrow 0⩽a⩽1,$$

и

$$1-a⩾\frac{1}{4}\Rightarrow a⩽\frac{3}{4}.$$

Итого:

$$a\in \left[0;\frac{3}{4}\right].$$

Анализ количества корней на $[0;1]\text{:}$

• При $a\in \left(-\frac{5}{4};-\frac{3}{4}\right)\text{:}$ только $x=\frac{1}{4}$ (вторые корни не попадают в отрезок с учётом ОДЗ) $\Rightarrow$ ровно один корень.
• При $a=-\frac{3}{4}\text{:}$ $x=\frac{1}{4}$ и $x=1+a=\frac{1}{4}$ совпадают, $x=1-a=\frac{7}{4}$ не входит $\Rightarrow$ ровно один корень.
• При $a\in \left(-\frac{3}{4};0\right)\text{:}$ $x=\frac{1}{4}$ и $x=1+a$ различны $\Rightarrow$ два корня.
• При $a=0\text{:}$ $x=\frac{1}{4}$ и $x=1$ $\Rightarrow$ два корня.
• При $a\in \left(0;\frac{3}{4}\right)\text{:}$ $x=\frac{1}{4}$ и $x=1-a$ различны $\Rightarrow$ два корня.
• При $a=\frac{3}{4}\text{:}$ $x=\frac{1}{4}$ и $x=1-a=\frac{1}{4}$ совпадают $\Rightarrow$ ровно один корень.
• При $a\in \left(\frac{3}{4};\frac{5}{4}\right)\text{:}$ только $x=\frac{1}{4}$ $\Rightarrow$ ровно один корень.
• При остальных $a$ корней нет.

Ответ:

$$a\in \left(-\frac{5}{4};-\frac{3}{4}\right)\cup \left\{-\frac{3}{4}\right\}\cup \left\{\frac{3}{4}\right\}\cup \left(\frac{3}{4};\frac{5}{4}\right).$$