Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение sqrt(4x - 1)*ln(x^2 - 2x + 2 - a^2) = 0 имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Уравнение sqrt(4x-1)*ln(x^2-2x+2-a^2)=0 на отрезке [0;1]. ОДЗ: 4x-1 0=> x 14, x^2-2x+2-a^2 > 0. Равносильно совокупности: sqrt(4x-1)=0 или ln(x^2-2x+2-a^2)=0. 1. Первое уравнение: sqrt(4x-1)=0=> x=14. Этот корень лежит в [0;1] и является решением при условии x^2-2x+2-a^2>0 в этой точке: (14)^2 - 2*14 + 2 - a^2 > 0=> a^2 < (25)/(16)=> |a| < 54. Таким образом, корень x=14 существует при ain(-54;54). 2. Второе уравнение: ln(x^2-2x+2-a^2)=0=> x^2-2x+2-a^2=1=> (x-1)^2=a^2=> x=1+a или x=1-a. Эти корни должны удовлетворять xin[0;1] и x14. - Для x=1+a: 0 1+a 1=> -1 a 0, и 1+a 14=> a -34. Итого: ain[-34;0]. - Для x=1-a: 0 1-a 1=> 0 a 1, и 1-a 14=> a 34. Итого: ain[0;34]. Анализ количества корней на [0;1]: - При ain(-54;-34): только x=14 (вторые корни не попадают в отрезок с учётом ОДЗ) => ровно один корень. - При a=-34: x=14 и x=1+a=14 совпадают, x=1-a=74 не входит => ровно один корень. - При ain(-34;0): x=14 и x=1+a различны => два корня. - При a=0: x=14 и x=1 => два корня. - При ain(0;34): x=14 и x=1-a различны => два корня. - При a=34: x=14 и x=1-a=14 совпадают => ровно один корень. - При ain(34;54): только x=14 => ровно один корень. - При остальных a корней нет. Ответ: ain(-54;-34) U -34U 34U(34;54).

\(a\in\left(-\dfrac{5}{4}, -\dfrac{3}{4}\right] \cup\left[\dfrac{3}{4}, \dfrac{5}{4}\right)\)