Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение (2x + a + 1 + tg x)^2 = (2x + a - 1 - tg x)^2 имеет единственное решение на отрезке [-(pi)/(2); (pi)/(2)].

Исходное уравнение равносильно совокупности: 2x + a + 1 + tg x = 2x + a - 1 - tg x или 2x + a + 1 + tg x = -(2x + a - 1 - tg x). Из первого уравнения: tg x = -1. Откуда на отрезке [-(pi)/(2); (pi)/(2)] имеем x = -(pi)/(4) (точки +-(pi)/(2) не входят из-за неопределенности тангенса). Из второго уравнения: 2x + a = 0=> x = -(a)/(2). Корень x = -(pi)/(4) всегда лежит внутри интервала (-(pi)/(2), (pi)/(2)). Корень x = -(a)/(2) лежит в этом интервале при -(pi)/(2) < -(a)/(2) < (pi)/(2)=> ain (-pi, pi). Для единственности решения необходимо, чтобы либо оба корня совпадали, либо только один из них принадлежал интервалу. Совпадение: -(pi)/(4) = -(a)/(2)=> a = (pi)/(2). Если x = -(a)/(2) не принадлежит интервалу, то -(a)/(2) -(pi)/(2) или -(a)/(2) (pi)/(2), что дает a -pi или a pi. При a = +-pi корень x = -+(pi)/(2) не входит из-за неопределенности тангенса, поэтому границы включаем. Таким образом, условия единственности решения выполняются при a -pi, a = (pi)/(2), или a pi. Ответ: ain (-inf, -pi] U(pi)/(2)U [pi, +inf).

\(a\in (-\infty, -\pi] \cup\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}\cup [\pi, +\infty)\)