Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение
(2x+a+1+tgx)2=(2x+a−1−tgx)2имеет единственное решение на отрезке
[−2π;2π].Исходное уравнение равносильно совокупности:
2x+a+1+tgx=2x+a−1−tgxили2x+a+1+tgx=−(2x+a−1−tgx).Из первого уравнения:
tgx=−1.Откуда на отрезке
[−2π;2π]имеем
x=−4π(точки ±2π не входят из-за неопределенности тангенса).
Из второго уравнения:
2x+a=0⇒x=−2a.Корень x=−4π всегда лежит внутри интервала
(−2π,2π).Корень x=−2a лежит в этом интервале при
−2π<−2a<2π⇒a∈(−π,π).Для единственности решения необходимо, чтобы либо оба корня совпадали, либо только один из них принадлежал интервалу.
Совпадение:
−4π=−2a⇒a=2π.Если x=−2a не принадлежит интервалу, то
−2a⩽−2πили−2a⩾2π,что дает
a⩽−πилиa⩾π.При a=±π корень
x=∓2πне входит из-за неопределенности тангенса, поэтому границы включаем.
Таким образом, условия единственности решения выполняются при
a⩽−π,a=2π,илиa⩾π.Ответ: a∈(−∞,−π]∪{2π}∪[π,+∞).
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ