Задача №15350

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}(x{y}^2-3xy-3y+9)\sqrt{3-x}=0,\\ y=ax\end{array}$$

имеет ровно три различных решения.

Первое уравнение обращается в ноль, если $\sqrt{3-x}=0$ или $x{y}^2-3xy-3y+9=0\text{.}$

ОДЗ: $x\le 3\text{.}$

Из $\sqrt{3-x}=0$ имеем $x=3\text{,}$ тогда $y=3a$ — решение при любом $a\text{.}$

Подставляем $y=ax$ во второй множитель:

$$a^2{x}^3-3a{x}^2-3ax+9=(ax-3)(a{x}^2-3)=0.$$

При $a\ne 0$ получаем корни:

$$x_1=\frac{3}{a},x_{2,3}=\pm \sqrt{\frac{3}{a}}$$

(последние существуют только при $a>0$).

Все корни должны удовлетворять $x\le 3\text{.}$

Анализ случаев.

1. Если $a=0\text{:}$ тогда из подстановки $y=0\text{,}$ и из уравнения получаем единственное решение $(3,0)\text{.}$

2. Если $a<0\text{:}$ корни $x_1=\frac{3}{a}<0$ и $x=3\text{,}$ причём $x_{2,3}$ не существуют, так как $a<0\text{.}$ Таким образом, имеем два решения.

3. Если $a>0\text{:}$ возможны до четырёх решений (корни $x_1\text{,}$ $x_2\text{,}$ $x_3$ и $x=3$). Ровно три решения, когда один из корней не попадает в ОДЗ $x\le 3$ или совпадает с другим корнем.
Это происходит в следующих случаях:
а) $\frac{1}{3}<a<1\text{:}$ тогда корень $x_1=\frac{3}{a}>3$ не удовлетворяет ОДЗ, остаются корни $x_2=\sqrt{\frac{3}{a}}\text{,}$ $x_3=-\sqrt{\frac{3}{a}}$ и $x=3\text{.}$ Все они различны.

б) $a=1\text{:}$ тогда корень $x_1=3$ совпадает с $x=3\text{,}$ остаются корни $x_2=\sqrt{3}\text{,}$ $x_3=-\sqrt{3}\text{.}$

в) $a=3\text{:}$ тогда корни $x_1=1$ и $x_2=\sqrt{1}=1$ совпадают, остаются корни $x=3$ и $x_3=-1\text{.}$

Ответ: $a\in \left(\frac{1}{3},1\right)\cup 1,3\text{.}$