Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений cases (xy^2 - 3xy - 3y + 9) sqrt(3 - x) = 0, [2pt] y = ax cases имеет ровно три различных решения.

Первое уравнение обращается в ноль, если sqrt(3-x) = 0 или xy^2 - 3xy - 3y + 9 = 0 . ОДЗ: x<= 3 . Из sqrt(3-x) = 0 имеем x = 3 , тогда y = 3a — решение при любом a . Подставляем y = ax во второй множитель: a^2 x^3 - 3a x^2 - 3a x + 9 = (ax - 3)(a x^2 - 3) = 0. При a!= 0 получаем корни: x_1 = (3)/(a), x_(2,3) = +-sqrt((3)/(a)) (последние существуют только при a > 0 ). Все корни должны удовлетворять x<= 3 . Анализ случаев. 1. Если a = 0 : тогда из подстановки y = 0 , и из уравнения получаем единственное решение (3, 0) . 2. Если a < 0 : корни x_1 = (3)/(a) < 0 и x = 3 , причём x_(2,3) не существуют, так как a < 0 . Таким образом, имеем два решения. 3. Если a > 0 : возможны до четырёх решений (корни x_1 , x_2 , x_3 и x = 3 ). Ровно три решения, когда один из корней не попадает в ОДЗ x<= 3 или совпадает с другим корнем. Это происходит в следующих случаях: а) (1)/(3) < a < 1 : тогда корень x_1 = (3)/(a) > 3 не удовлетворяет ОДЗ, остаются корни x_2 = sqrt((3)/(a)) , x_3 = -sqrt((3)/(a)) и x = 3 . Все они различны. б) a = 1 : тогда корень x_1 = 3 совпадает с x = 3 , остаются корни x_2 = sqrt(3) , x_3 = -sqrt(3) . в) a = 3 : тогда корни x_1 = 1 и x_2 = sqrt(1) = 1 совпадают, остаются корни x = 3 и x_3 = -1 . Ответ: ain( (1)/(3), 1) U 1, 3 .

\( a\in\left( \dfrac{1}{3}, 1\right] \cup \{3\} \)