Задача №15349

Найдите все положительные значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}|x|+|y|=a\\ y=\sqrt{x+4}\end{array}$$

имеет ровно два различных решения.

Система

$$\{\begin{array}{l}|x|+|y|=a,\\ y=\sqrt{x+4}\end{array}$$

определена при $y⩾0\text{,}$ $x⩾-4\text{.}$

Подставляем $y\text{:}$ $\sqrt{x+4}=a-|x|\text{.}$

Рассмотрим два случая.

1) $x⩾0\text{:}$ уравнение $\sqrt{x+4}=a-x\text{.}$ Правая часть неотрицательна: $x⩽a\text{.}$

Преобразуем: $\sqrt{x+4}+x=a\text{.}$

Функция $f(x)=\sqrt{x+4}+x$ строго возрастает, $f(0)=2\text{,}$ $f(a)>a\text{.}$

При $a⩾2$ уравнение имеет ровно одно решение на $[0,a]\text{.}$ При $a<2$ решений нет.

2) $x<0\text{:}$ уравнение $\sqrt{x+4}=a+x\text{.}$ Условие $a+x⩾0\Rightarrow x⩾-a\text{.}$

Возводя в квадрат:

$$x^2+(2a-1)x+(a^2-4)=0.$$

Дискриминант:

$$D=17-4a⩾0\Rightarrow a⩽\frac{17}{4}.$$

Корни:

$$x_{1,2}=\frac{1-2a\pm \sqrt{17-4a}}{2}.$$

При $a>2$ оба корня отрицательны. Точное количество решений в интервале $[-a,0)$ зависит от положения $x_1\text{.}$

Условие $x_1<-a$ выполняется при $a<4\text{.}$ Тогда только $x_2$ лежит в $[-a,0)\text{,}$ давая одно решение.

При $a=4\text{:}$ $x_1=-4\text{,}$ $x_2=-3\text{,}$ оба в $[-4,0)$ — два решения.

При

$$4<a⩽\frac{17}{4}:$$

$x_1>-a\text{,}$ оба корня в $[-a,0)$ — два решения.

При

$$a=\frac{17}{4}:$$

$D=0\text{,}$ один корень $x=-\frac{15}{4}\in [-a,0)$ — одно решение.

При $a>\frac{17}{4}$ решений нет.

При $a<2$ корни имеют разные знаки, но отрицательный корень $x_1$ всегда $<-a\text{,}$ поэтому решений нет.

Общее количество решений:

• $a<2\text{:}$ решений нет.

• $a=2\text{:}$ одно решение ($x=0$).

• $2<a<4\text{:}$ одно решение из $x⩾0$ и одно из $x<0$ — всего два.

• $a=4\text{:}$ одно из $x⩾0$ и два из $x<0$ — три.

$$4<a<\frac{17}{4}:$$

одно из $x⩾0$ и два из $x<0$ — три.

$$a=\frac{17}{4}:$$

одно из $x⩾0$ и одно из $x<0$ — два.

• $a>\frac{17}{4}\text{:}$ одно из $x⩾0$ — одно.

Таким образом, ровно два решения при $2<a<4$ и при

$$a=\frac{17}{4}.$$

Ответ:

$$2<a<4,a=\frac{17}{4}.$$