Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система уравнений cases |x| + |y| = a [2pt] y = sqrt(x + 4) cases имеет ровно два различных решения.
Система cases |x|+|y|=a, y=sqrt(x+4) cases определена при y 0, x -4. Подставляем y: sqrt(x+4) = a - |x|. Рассмотрим два случая. 1) x 0: уравнение sqrt(x+4) = a - x. Правая часть неотрицательна: x a. Преобразуем: sqrt(x+4) + x = a. Функция f(x)=sqrt(x+4)+x строго возрастает, f(0)=2, f(a) > a. При a 2 уравнение имеет ровно одно решение на [0, a]. При a < 2 решений нет. 2) x < 0: уравнение sqrt(x+4) = a + x. Условие a+x 0=> x -a. Возводя в квадрат: x^2 + (2a-1)x + (a^2-4)=0. Дискриминант: D=17-4a 0=> a (17)/(4). Корни: x_(1,2) = (1-2a+-sqrt(17-4a))/(2). При a > 2 оба корня отрицательны. Точное количество решений в интервале [-a, 0) зависит от положения x_1. Условие x_1 < -a выполняется при a < 4. Тогда только x_2 лежит в [-a, 0), давая одно решение. При a = 4: x_1 = -4, x_2 = -3, оба в [-4, 0) — два решения. При 4 < a (17)/(4): x_1 > -a, оба корня в [-a, 0) — два решения. При a = (17)/(4): D=0, один корень x = -(15)/(4)in [-a, 0) — одно решение. При a > (17)/(4) решений нет. При a < 2 корни имеют разные знаки, но отрицательный корень x_1 всегда < -a, поэтому решений нет. Общее количество решений: a < 2: решений нет. a = 2: одно решение (x=0). 2 < a < 4: одно решение из x 0 и одно из x < 0 — всего два. a = 4: одно из x 0 и два из x < 0 — три. 4 < a < (17)/(4): одно из x 0 и два из x < 0 — три. a = (17)/(4): одно из x 0 и одно из x < 0 — два. a > (17)/(4): одно из x 0 — одно. Таким образом, ровно два решения при 2 < a < 4 и при a = (17)/(4). Ответ: 2 < a < 4, a = (17)/(4).
\(a\in (2, 4) \cup\left\{\dfrac{17}{4}\right\}\)