Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений cases x^4 - y^4 = 12a - 28 [2pt] x^2 + y^2 = a cases имеет ровно четыре различных решения.

Система: cases x^4 - y^4 = 12a - 28, x^2 + y^2 = a. cases Заметим, что x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x^2 - y^2)a. Подставляем в первое уравнение: (x^2 - y^2)a = 12a - 28. Если a = 0, то 0 = -28, решений нет. При a!= 0: x^2 - y^2 = (12a - 28)/(a) = 12 - (28)/(a). Объединяя со вторым уравнением, получаем систему: cases x^2 + y^2 = a, x^2 - y^2 = 12 - (28)/(a). cases Складываем и вычитаем: 2x^2 = a + 12 - (28)/(a)=> x^2 = (a^2 + 12a - 28)/(2a), 2y^2 = a - 12 + (28)/(a)=> y^2 = (a^2 - 12a + 28)/(2a). Решения существуют, когда оба выражения неотрицательны. Чтобы было ровно четыре различных решения, необходимо x^2 > 0 и y^2 > 0 (тогда x и y принимают по два значения с разными знаками, давая четыре комбинации). Решаем неравенства: (a^2 + 12a - 28)/(a) > 0, (a^2 - 12a + 28)/(a) > 0. Первое неравенство: (a + 14)(a - 2)/a > 0=> ain (-14; 0) U (2; +inf). Второе неравенство: корни числителя a = 6+- 2sqrt(2), поэтому ain (0; 6 - 2sqrt(2)) U (6 + 2sqrt(2); +inf). Учитывая a!= 0, ищем пересечение областей. При a < 0 второе неравенство не выполняется. При a > 0 пересечение даёт ain (2; 6 - 2sqrt(2)) U (6 + 2sqrt(2); +inf). На границах этих интервалов одно из квадратных выражений обращается в ноль, что даёт только два решения. Ответ: ain (2; 6 - 2sqrt(2)) U (6 + 2sqrt(2); +inf).

\(a\in (2, 6 - 2\sqrt{2}) \cup (6 + 2\sqrt{2}, +\infty)\)