Задача №15348

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}{x}^4-y^4=12a-28\\ x^2+y^2=a\end{array}$$

имеет ровно четыре различных решения.

Система:

$$\{\begin{array}{l}{x}^4-y^4=12a-28,\\ x^2+y^2=a.\end{array}$$

Заметим, что $x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=(x^2-y^2)a\text{.}$ Подставляем в первое уравнение: $(x^2-y^2)a=12a-28\text{.}$ Если $a=0\text{,}$ то $0=-28\text{,}$ решений нет. При $a\ne 0\text{:}$

$$x^2-y^2=\frac{12a-28}{a}=12-\frac{28}{a}.$$

Объединяя со вторым уравнением, получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=a,\\ x^2-y^2=12-\frac{28}{a}.\end{array}$$

Складываем и вычитаем:

$$2x^2=a+12-\frac{28}{a}\Rightarrow x^2=\frac{a^2+12a-28}{2a},2y^2=a-12+\frac{28}{a}\Rightarrow y^2=\frac{a^2-12a+28}{2a}.$$

Решения существуют, когда оба выражения неотрицательны. Чтобы было ровно четыре различных решения, необходимо $x^2>0$ и $y^2>0$ (тогда $x$ и $y$ принимают по два значения с разными знаками, давая четыре комбинации).

Решаем неравенства:

$$\frac{a^2+12a-28}{a}>0,\frac{a^2-12a+28}{a}>0.$$

Первое неравенство: $(a+14)(a-2)/a>0\Rightarrow a\in (-14;0)\cup (2;+\infty )\text{.}$
Второе неравенство: корни числителя $a=6\pm 2\sqrt{2}\text{,}$ поэтому $a\in (0;6-2\sqrt{2})\cup (6+2\sqrt{2};+\infty )\text{.}$

Учитывая $a\ne 0\text{,}$ ищем пересечение областей. При $a<0$ второе неравенство не выполняется. При $a>0$ пересечение даёт $a\in (2;6-2\sqrt{2})\cup (6+2\sqrt{2};+\infty )\text{.}$ На границах этих интервалов одно из квадратных выражений обращается в ноль, что даёт только два решения.

Ответ: $a\in (2;6-2\sqrt{2})\cup (6+2\sqrt{2};+\infty )\text{.}$