Задача №15347

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}(x^2+y^2+4x)\cdot \sqrt{2x+y+6}=0\\ y=x+a\end{array}$$

имеет ровно два различных решения.

Первое уравнение $(x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0$ равносильно совокупности:

$$x^2+y^2+4x=0\text{или}2x+y+6=0,$$

причём должно выполняться $2x+y+6⩾0\text{.}$

Преобразуем: $x^2+y^2+4x=0\iff (x+2{)}^2+y^2=4$ — окружность с центром $(-2,0)\text{,}$ радиус $2\text{.}$

Прямая $2x+y+6=0$ пересекает окружность в точках $A(-2,-2)$ и $B\left(-\frac{18}{5},\frac{6}{5}\right)\text{.}$

Из окружности берём только дугу, где $2x+y+6⩾0$ (большая дуга $AB\text{,}$ не содержащая точку $(-4,0)$).

Второе уравнение $y=x+a$ — прямая $l\text{.}$

Система имеет ровно два решения, когда прямая $l$ пересекает объединение допустимой дуги окружности и прямой $2x+y+6=0$ ровно в двух точках.

Возможны случаи:

1. $l$ проходит через $A$ или $B\text{,}$ пересекая дугу ещё в одной точке (и тогда точка $A$ или $B$ принадлежит и прямой $2x+y+6=0\text{,}$ учитывается один раз). Это даёт $a=0$ (для $A$) и $a=\frac{24}{5}$ (для $B$).

2. $l$ касается допустимой дуги окружности и пересекает прямую $2x+y+6=0$ в другой точке. Условие касания: дискриминант уравнения $(x+2{)}^2+(x+a{)}^2=4$ равен нулю: $D_1=4+4a-a^2=0\Rightarrow a=2\pm 2\sqrt{2}\text{.}$

3. $l$ пересекает допустимую дугу ровно в одной точке (вторая точка пересечения с окружностью не удовлетворяет $2x+y+6⩾0$) и пересекает прямую $2x+y+6=0$ в другой точка. Это происходит при $0<a<\frac{24}{5}\text{.}$

Ответ:

$a\in \left[0,\frac{24}{5}\right]\cup \{2-2\sqrt{2},2+2\sqrt{2}\}$