Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений cases (x^2 + y^2 + 4x) *sqrt(2x + y + 6) = 0 [2pt] y = x + acases имеет ровно два различных решения.

Первое уравнение (x^2+y^2+4x)sqrt(2x+y+6)=0 равносильно совокупности: x^2+y^2+4x=0 или 2x+y+6=0, причём должно выполняться 2x+y+6 0. Преобразуем: x^2+y^2+4x=0<=> (x+2)^2+y^2=4 — окружность с центром (-2,0), радиус 2. Прямая 2x+y+6=0 пересекает окружность в точках A(-2,-2) и B(-(18)/(5), (6)/(5)). Из окружности берём только дугу, где 2x+y+6 0 (большая дуга AB, не содержащая точку (-4,0)). Второе уравнение y=x+a — прямая l. Система имеет ровно два решения, когда прямая l пересекает объединение допустимой дуги окружности и прямой 2x+y+6=0 ровно в двух точках. Возможны случаи: 1. l проходит через A или B, пересекая дугу ещё в одной точке (и тогда точка A или B принадлежит и прямой 2x+y+6=0, учитывается один раз). Это даёт a=0 (для A) и a=(24)/(5) (для B). 2. l касается допустимой дуги окружности и пересекает прямую 2x+y+6=0 в другой точке. Условие касания: дискриминант уравнения (x+2)^2+(x+a)^2=4 равен нулю: D_1=4+4a-a^2=0=> a=2+-2sqrt(2). 3. l пересекает допустимую дугу ровно в одной точке (вторая точка пересечения с окружностью не удовлетворяет 2x+y+6 0) и пересекает прямую 2x+y+6=0 в другой точка. Это происходит при 0 < a < (24)/(5). Ответ: ain[0, (24)/(5)] U 2-2sqrt(2), 2+2sqrt(2)

\(a = 2-2\sqrt{2},\quad 0\le a\le\dfrac{24}{5},\quad a = 2+2\sqrt{2}\)