Задача №15345

Решите неравенство

$$\frac{x^3+x^2-x-1}{4^{x^2}-8\cdot 2^{x^2}+16}⩾0.$$

Разложим числитель на множители:

$$x^3+x^2-x-1=x^2(x+1)-(x+1)=(x+1)(x^2-1)=(x+1{)}^2(x-1).$$

Знаменатель преобразуем: $4^{x^2}-8\cdot 2^{x^2}+16=(2^{x^2}{)}^2-8\cdot 2^{x^2}+16=(2^{x^2}-4{)}^2\text{.}$ Неравенство принимает вид:

$$\frac{(x+1{)}^2(x-1)}{(2^{x^2}-4{)}^2}⩾0.$$

Заметим, что знаменатель — квадрат, поэтому он неотрицателен и обращается в ноль только когда $2^{x^2}=4\text{,}$ т.е. $x^2=2\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}\text{.}$ В этих точках знаменатель равен нулю, поэтому они не входят в ОДЗ. В остальных точках знаменатель положителен. Тогда неравенство равносильно:

$$(x+1{)}^2(x-1)⩾0,x\ne \pm \sqrt{2}.$$

Квадрат $(x+1{)}^2$ неотрицателен и обращается в ноль при $x=-1\text{.}$ Поэтому:

• Если $x=-1\text{,}$ то произведение равно нулю, неравенство выполняется.
• Если $x\ne -1\text{,}$ то $(x+1{)}^2>0\text{,}$ и неравенство сводится к $x-1⩾0\Rightarrow x⩾1\text{.}$

Объединяем: $x=-1$ или $x⩾1\text{.}$ Исключаем точки, где знаменатель обращается в ноль: $x=\pm \sqrt{2}\text{.}$ Проверим:

• $x=-1$ — не равно $\pm \sqrt{2}\text{,}$ подходит.
• При $x⩾1$ точка $x=\sqrt{2}$ не входит, остальные подходят.

Таким образом, ответ:

$$\{-1\}\cup [1,\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},+\infty ).$$