Задача №15344

В треугольнике $ABC$ точки $A_1\text{,}$ $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC\text{,}$ $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=30^{\circ }\text{,}$ $\angle BCA=45^{\circ }\text{.}$

а) Докажите, что точки $A_1\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_{1}H\text{,}$ если $BC=4\sqrt{3}\text{.}$

а) Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABH\text{:}$ поскольку $AH$ — высота, $\angle AHB=90^{\circ }\text{,}$ и он прямоугольный с гипотенузой $AB\text{.}$ Точка $C_1$ — середина $AB\text{,}$ поэтому $C_{1}H=C_{1}A=C_{1}B=\frac{AB}{2}$ (медиана, проведённая к гипотенуз

е).

В треугольнике $ABC$ отрезок $C_1{B}_1$ — средняя линия, параллельная стороне $BC\text{.}$ Точка $A_1$ — середина $BC\text{,}$ значит, $A_1$ лежит на $BC\text{.}$ Основание высоты $H$ также лежит на прямой $BC\text{,}$ поэтому прямая $A_{1}H$ совпадает с $BC\text{.}$ Следовательно, $C_1{B}_1\parallel A_{1}H\text{.}$

Таким образом, четырёхугольник $C_1{B}_1{A}_{1}H$ — трапеция с основаниями $C_1{B}_1$ и $A_{1}H\text{.}$ Кроме того, боковые стороны равны:

$$C_{1}H=\frac{AB}{2},B_1{A}_1=\frac{AB}{2}\text{(как средняя линия треугольника }ABC),$$

то есть $C_{1}H=B_1{A}_1\text{.}$ Значит, трапеция равнобедренная, и вокруг неё можно описать окружность. Поэтому точки $A_1\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Нахождение $A_{1}H\text{.}$

В треугольнике $ABC$ известны: $BC=4\sqrt{3}\text{,}$ $\angle BAC=30^{\circ }\text{,}$ $\angle BCA=45^{\circ }\text{,}$ откуда

$$\angle ABC=180^{\circ }-30^{\circ }-45^{\circ }=105^{\circ }.$$

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin 30^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 45^{\circ }}\Rightarrow \frac{4\sqrt{3}}{1/2}=\frac{AB}{\sqrt{2}/2}.$$

Отсюда

$$AB=4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}/2}{1/2}=4\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{6}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $ABH$ ($\angle AHB=90^{\circ }$). Так как треугольник $ABC$ тупоугольный ($\angle B=105^{\circ }>90^{\circ }$), высота из острого угла $A$ падает на продолжение стороны $BC$ за точку $B\text{.}$ Поэтому луч $BH$ направлен противоположно лучу $BC\text{,}$ и угол между $AB$ и $BH$ равен

$$\angle ABH=180^{\circ }-105^{\circ }=75^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ найдём катет $BH\text{:}$

$$BH=AB\cdot \cos 75^{\circ },\text{где }\cos 75^{\circ }=\cos (45^{\circ }+30^{\circ })=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$$

Подставляем:

$$BH=4\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\sqrt{6}(\sqrt{6}-\sqrt{2})=6-2\sqrt{3}.$$

Точка $A_1$ — середина $BC\text{,}$ поэтому

$$A_{1}B=\frac{BC}{2}=2\sqrt{3}.$$

Точка $H$ лежит на прямой $BC$ на расстоянии $BH$ от $B$ в сторону, противоположную $C\text{.}$ Следовательно,

$$A_{1}H=A_{1}B+BH=2\sqrt{3}+(6-2\sqrt{3})=6.$$

Ответ: 6