Задача №15343

Решите неравенство
$3^x+\frac{243}{3^x-84}⩽0\text{.}$

Введём замену $t=3^x>0\text{.}$ Тогда неравенство принимает вид:

Приведём к общему знаменателю:

Решим квадратное уравнение: $t^2-84t+243=0\text{.}$ Дискриминант $D=84^2-4\cdot 243=7056-972=6084=78^2\text{.}$ Корни:

Тогда неравенство равносильно:

Метод интервалов на $t>0\text{:}$ нули числителя $t=3$ и $t=81\text{,}$ знаменатель обращается в ноль при $t=84\text{.}$ Расставим знаки на интервалах:

$(0;3)$ – знак «+»,
$(3;81)$ – знак «–»,
$(81;84)$ – знак «+»,
$(84;+\infty )$ – знак «–».

Нас интересуют $t\text{,}$ при которых выражение $⩽0\text{:}$ $t\in [3;81]\cup (84;+\infty )\text{.}$

Но $t>0$ и $t\ne 84\text{,}$ поэтому $t\in [3;81]\cup (84;+\infty )\text{.}$

Возвращаемся к $x\text{:}$ $3^x=t\text{.}$

1) $3⩽3^x⩽81$ $\Rightarrow$ $1⩽x⩽4\text{.}$

2) $3^x>84$ $\Rightarrow$ $x>{\log }_{3}84\text{.}$

Ответ:
$x\in [1;4]\cup ({\log }_{3}84;+\infty )$