Задача №15341

В трапеции $ABCD$ угол $BAD$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $AD$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точках $C$ и $M\text{.}$
а) Докажите, что $\angle BAM=\angle CAD\text{.}$

б) Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O\text{.}$ Найдите площадь треугольника $AOB\text{,}$ если $AB=\sqrt{10}\text{,}$ а $BC=2BM\text{.}$

Доказательство равенства углов.

Поскольку $AD$ — диаметр окружности, а $\angle BAD=90^{\circ }\text{,}$ то $AB\perp AD\text{.}$ Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, следовательно, $AB$ — касательная к окружности в точке $A\text{.}$

По теореме об угле между касательной и хордой:

$$\angle BAM=\angle ADM.$$

Основания трапеции параллельны: $AD\parallel BC\text{.}$ При секущей $MD$ накрест лежащие углы равны:

$$\angle ADM=\angle DMC.$$

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Углы $\angle CAD$ и $\angle CMD$ опираются на дугу $CD\text{,}$ поэтому:

$$\angle CAD=\angle CMD.$$

Так как $\angle DMC$ и $\angle CMD$ — один и тот же угол, из цепочки равенств получаем:

$$\angle BAM=\angle CAD.$$

Нахождение площади треугольника $AOB\text{.}$

Пусть $BM=x\text{.}$ По условию $BC=2BM=2x\text{.}$ Из доказанного в пункте а) следует, что $AB$ — касательная, а $BC$ — секущая. По теореме о касательной и секущей:

$$A{B}^2=BM\cdot BC.$$

Подставляем данные:

$$(\sqrt{10}{)}^2=x\cdot 2x\Rightarrow 10=2x^2\Rightarrow x^2=5\Rightarrow x=\sqrt{5}.$$

Таким образом, $BM=\sqrt{5}\text{,}$ $BC=2\sqrt{5}\text{.}$

Введём координаты: $A(0;0)\text{,}$ $B(0;\sqrt{10})\text{,}$ $C(2\sqrt{5};\sqrt{10})\text{.}$ Точка $D$ лежит на оси абсцисс: $D(d;0)\text{.}$ Окружность с диаметром $AD$ имеет центр $\left(\frac{d}{2};0\right)$ и радиус $\frac{d}{2}\text{.}$ Точка $C$ принадлежит окружности:

$${\left(2\sqrt{5}-\frac{d}{2}\right)}^2+(\sqrt{10}{)}^2={\left(\frac{d}{2}\right)}^2.$$

Решаем уравнение:

$$(2\sqrt{5}-\frac{d}{2}{)}^2+10=\frac{d^2}{4}\Rightarrow 20-2\sqrt{5}d+\frac{d^2}{4}+10=\frac{d^2}{4}\Rightarrow 30-2\sqrt{5}d=0\Rightarrow d=\frac{15}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}.$$

Значит, $AD=3\sqrt{5}\text{.}$

Точка $O$ — пересечение диагоналей $AC$ и $BD\text{.}$

Прямая $AC$ проходит через $A(0;0)$ и $C(2\sqrt{5};\sqrt{10})\text{:}$

$$y=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}x=\frac{\sqrt{2}}{2}x.$$

Прямая $BD$ проходит через $B(0;\sqrt{10})$ и $D(3\sqrt{5};0)\text{:}$

$$y=\sqrt{10}-\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{5}}x=\sqrt{10}-\frac{\sqrt{2}}{3}x.$$

Находим координаты $O\text{:}$

$$\frac{\sqrt{2}}{2}x=\sqrt{10}-\frac{\sqrt{2}}{3}x\Rightarrow \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}\right)x=\sqrt{10}\Rightarrow \sqrt{2}\cdot \frac{5}{6}x=\sqrt{10}\Rightarrow x=\frac{6\sqrt{10}}{5\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}.$$

Тогда

$$y=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{6\sqrt{5}}{5}=\frac{3\sqrt{10}}{5}.$$

Площадь треугольника $AOB$ с вершинами $A(0;0)\text{,}$ $O\left(\frac{6\sqrt{5}}{5};\frac{3\sqrt{10}}{5}\right)\text{,}$ $B(0;\sqrt{10})\text{:}$

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\left|0\cdot \left(\frac{3\sqrt{10}}{5}-\sqrt{10}\right)+\frac{6\sqrt{5}}{5}\cdot (\sqrt{10}-0)+0\cdot \left(0-\frac{3\sqrt{10}}{5}\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{6\sqrt{5}}{5}\cdot \sqrt{10}=\frac{1}{2}\cdot \frac{6\sqrt{50}}{5}=\frac{1}{2}\cdot \frac{6\cdot 5\sqrt{2}}{5}=3\sqrt{2}.$$

Ответ: площадь треугольника $AOB$ равна $3\sqrt{2}\text{.}$