В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Докажите, что BAM = CAD. б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB = sqrt(10), а BC = 2BM.

Доказательство равенства углов. Поскольку AD — диаметр окружности, а BAD = 90^, то AB AD. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, следовательно, AB — касательная к окружности в точке A. По теореме об угле между касательной и хордой: BAM = ADM. Основания трапеции параллельны: AD BC. При секущей MD накрест лежащие углы равны: ADM = DMC. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Углы CAD и CMD опираются на дугу CD, поэтому: CAD = CMD. Так как DMC и CMD — один и тот же угол, из цепочки равенств получаем: BAM = CAD. Нахождение площади треугольника AOB. Пусть BM = x. По условию BC = 2BM = 2x. Из доказанного в пункте а) следует, что AB — касательная, а BC — секущая. По теореме о касательной и секущей: AB^2 = BM* BC. Подставляем данные: (sqrt(10))^2 = x* 2x => 10 = 2x^2 => x^2 = 5 => x = sqrt(5). Таким образом, BM = sqrt(5), BC = 2sqrt(5). Введём координаты: A(0;0), B(0;sqrt(10)), C(2sqrt(5);sqrt(10)). Точка D лежит на оси абсцисс: D(d;0). Окружность с диаметром AD имеет центр ((d)/(2);0) и радиус (d)/(2). Точка C принадлежит окружности: (2sqrt(5) - (d)/(2))^2 + (sqrt(10))^2 = ((d)/(2))^2. Решаем уравнение: (2sqrt(5) - (d)/(2))^2 + 10 = (d^2)/(4) => 20 - 2sqrt(5)d + (d^2)/(4) + 10 = (d^2)/(4) => 30 - 2sqrt(5)d = 0 => d = (15)/(sqrt(5)) = 3sqrt(5). Значит, AD = 3sqrt(5). Точка O — пересечение диагоналей AC и BD. Прямая AC проходит через A(0;0) и C(2sqrt(5);sqrt(10)): y = (sqrt(10))/(2sqrt(5)) x = (sqrt(2))/(2)x. Прямая BD проходит через B(0;sqrt(10)) и D(3sqrt(5);0): y = sqrt(10) - (sqrt(10))/(3sqrt(5)) x = sqrt(10) - (sqrt(2))/(3)x. Находим координаты O: (sqrt(2))/(2)x = sqrt(10) - (sqrt(2))/(3)x => ((sqrt(2))/(2) + (sqrt(2))/(3))x = sqrt(10) => sqrt(2)*(5)/(6)x = sqrt(10) => x = (6sqrt(10))/(5sqrt(2)) = (6sqrt(5))/(5). Тогда y = (sqrt(2))/(2)*(6sqrt(5))/(5) = (3sqrt(10))/(5). Площадь треугольника AOB с вершинами A(0;0), O((6sqrt(5))/(5); (3sqrt(10))/(5)), B(0;sqrt(10)): S_(AOB) = (1)/(2)| 0*((3sqrt(10))/(5) - sqrt(10)) + (6sqrt(5))/(5)* (sqrt(10) - 0) + 0*(0 - (3sqrt(10))/(5)) | = (1)/(2)*(6sqrt(5))/(5)*sqrt(10) = (1)/(2)*(6sqrt(50))/(5) = (1)/(2)*(6* 5sqrt(2))/(5) = 3sqrt(2). Ответ: площадь треугольника AOB равна 3sqrt(2).

\(3\sqrt{2}\)