а) Докажите, что AB:BC = AE:EK. б) Найдите отношение площади треугольника ABE к площади четырёхугольника CDEF, если BD:DC = 5:2.

а) Докажем равенство отношений AB:BC = AE:EK . 1. Так как AB = BD , треугольник ABD равнобедренный с основанием AD . Биссектриса BE (часть BF ) в нём является также высотой, поэтому BE AD , то есть BF AD . 2. По условию CK AD , следовательно, BF CK (две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны). 3. Рассмотрим треугольник ACK . В нём прямая BF проходит через точку E на стороне AK и параллельна стороне CK . По теореме Фалеса (или свойству параллельных прямых, пересекающих стороны угла) имеем: (AE)/(EK) = (AF)/(FC). 4. В треугольнике ABC отрезок BF — биссектриса угла B . По свойству биссектрисы: (AB)/(BC) = (AF)/(FC). 5. Из пунктов 3 и 4 получаем: (AB)/(BC) = (AE)/(EK), что и требовалось доказать. б) Найдём отношение площади треугольника ABE к площади четырёхугольника CDEF при BD:DC = 5:2 . 1. Пусть BD = 5x , DC = 2x . Тогда AB = BD = 5x , BC = BD + DC = 7x . 2. В равнобедренном треугольнике ABD биссектриса BE является медианой, поэтому AE = ED . 3. Из пункта а) известно: (AB)/(BC) = (5)/(7) , значит, (AE)/(EK) = (5)/(7) . Положим AE = 5y , тогда EK = 7y . 4. Так как AE = ED = 5y , то AD = 10y . Точки A , E , D , K лежат на одной прямой в указанном порядке (углы BDE и CDK вертикальные, поэтому лучи DE и DK противоположны). Тогда DK = EK - ED = 7y - 5y = 2y . 5. Прямоугольные треугольники BDE и CDK подобны по двум углам ( BED = CKD = 90^ , BDE = CDK как вертикальны е). Из подобия: (BE)/(CK) = (BD)/(CD) = (5)/(2), (DE)/(DK) = (5)/(2). 6. Прямоугольные треугольники AEF и AKC подобны по двум углам ( AEF = AKC = 90^ , угол A общий). Из подобия: (AE)/(AK) = (EF)/(CK), где AK = AE + EK = 5y + 7y = 12y. Следовательно, (AE)/(AK) = (5)/(12) , откуда (EF)/(CK) = (5)/(12) . 7. Обозначим CK = 12z . Тогда из п.6: EF = 5z , а из п.5: BE = (5)/(2)* CK = (5)/(2)* 12z = 30z . 8. Вычислим площади: - Площадь треугольника ABE : S_(ABE) = (1)/(2)* AE* BE = (1)/(2)* 5y* 30z = 75yz. - Площадь треугольника ADC : S_(ADC) = (1)/(2)* AD* CK = (1)/(2)* 10y* 12z = 60yz. - Площадь треугольника AEF : S_(AEF) = (1)/(2)* AE* EF = (1)/(2)* 5y* 5z = (25)/(2) yz. - Площадь четырёхугольника CDEF найдём как разность: S_(CDEF) = S_(ADC) - S_(AEF) = 60yz - (25)/(2) yz = (95)/(2) yz. 9. Искомое отношение: (S_(ABE))/(S_(CDEF)) = (75yz)/(952 yz) = (75* 2)/(95) = (150)/(95) = (30)/(19). Ответ: 30 : 19

а) доказано б) 30:19