Задача №15338

а) Докажите, что $AB:BC=AE:EK\text{.}$

б) Найдите отношение площади треугольника $ABE$ к площади четырёхугольника $CDEF\text{,}$ если $BD:DC=5:2\text{.}$

а) Докажем равенство отношений $AB:BC=AE:EK\text{.}$

1. Так как $AB=BD\text{,}$ треугольник $ABD$ равнобедренный с основанием $AD\text{.}$ Биссектриса $BE$ (часть $BF$) в нём является также высотой, поэтому $BE\perp AD\text{,}$ то есть $BF\perp AD\text{.}$
2. По условию $CK\perp AD\text{,}$ следовательно, $BF\parallel CK$ (две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны).
3. Рассмотрим треугольник $ACK\text{.}$ В нём прямая $BF$ проходит через точку $E$ на стороне $AK$ и параллельна стороне $CK\text{.}$ По теореме Фалеса (или свойству параллельных прямых, пересекающих стороны угла) имеем:

$$\frac{AE}{EK}=\frac{AF}{FC}.$$

4. В треугольнике $ABC$ отрезок $BF$ — биссектриса угла $B\text{.}$ По свойству биссектрисы:

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AF}{FC}.$$

5. Из пунктов 3 и 4 получаем:

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{EK},$$

что и требовалось доказать.

б) Найдём отношение площади треугольника $ABE$ к площади четырёхугольника $CDEF$ при $BD:DC=5:2\text{.}$

1. Пусть $BD=5x\text{,}$ $DC=2x\text{.}$ Тогда $AB=BD=5x\text{,}$ $BC=BD+DC=7x\text{.}$
2. В равнобедренном треугольнике $ABD$ биссектриса $BE$ является медианой, поэтому $AE=ED\text{.}$
3. Из пункта а) известно: $\frac{AB}{BC}=\frac{5}{7}\text{,}$ значит, $\frac{AE}{EK}=\frac{5}{7}\text{.}$ Положим $AE=5y\text{,}$ тогда $EK=7y\text{.}$
4. Так как $AE=ED=5y\text{,}$ то $AD=10y\text{.}$ Точки $A\text{,}$ $E\text{,}$ $D\text{,}$ $K$ лежат на одной прямой в указанном порядке (углы $BDE$ и $CDK$ вертикальные, поэтому лучи $DE$ и $DK$ противоположны). Тогда $DK=EK-ED=7y-5y=2y\text{.}$
5. Прямоугольные треугольники $BDE$ и $CDK$ подобны по двум углам ($\angle BED=\angle CKD=90^{\circ }\text{,}$ $\angle BDE=\angle CDK$ как вертикальны

е). Из подобия:

$$\frac{BE}{CK}=\frac{BD}{CD}=\frac{5}{2},\frac{DE}{DK}=\frac{5}{2}.$$

6. Прямоугольные треугольники $AEF$ и $AKC$ подобны по двум углам ($\angle AEF=\angle AKC=90^{\circ }\text{,}$ угол $A$ общий). Из подобия:

$$\frac{AE}{AK}=\frac{EF}{CK},\text{где }AK=AE+EK=5y+7y=12y.$$

Следовательно, $\frac{AE}{AK}=\frac{5}{12}\text{,}$ откуда $\frac{EF}{CK}=\frac{5}{12}\text{.}$
7. Обозначим $CK=12z\text{.}$ Тогда из п.6: $EF=5z\text{,}$ а из п.5: $BE=\frac{5}{2}\cdot CK=\frac{5}{2}\cdot 12z=30z\text{.}$
8. Вычислим площади:

• Площадь треугольника $ABE\text{:}$

$$S_{ABE}=\frac{1}{2}\cdot AE\cdot BE=\frac{1}{2}\cdot 5y\cdot 30z=75yz.$$

• Площадь треугольника $ADC\text{:}$

$$S_{ADC}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot CK=\frac{1}{2}\cdot 10y\cdot 12z=60yz.$$

• Площадь треугольника $AEF\text{:}$

$$S_{AEF}=\frac{1}{2}\cdot AE\cdot EF=\frac{1}{2}\cdot 5y\cdot 5z=\frac{25}{2}yz.$$

• Площадь четырёхугольника $CDEF$ найдём как разность:

$$S_{CDEF}=S_{ADC}-S_{AEF}=60yz-\frac{25}{2}yz=\frac{95}{2}yz.$$

9. Искомое отношение:

$$\frac{S_{ABE}}{S_{CDEF}}=\frac{75yz}{\frac{95}{2}yz}=\frac{75\cdot 2}{95}=\frac{150}{95}=\frac{30}{19}.$$

Ответ: $30:19$