Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает сторону CD в точках K и D. а) Докажите, что AE=AK. б) Найдите AD, если CE=10, DK=9 и cos BAD=0,2.

а) Докажем, что AE = AK . Обозначим BAD = alpha . В параллелограмме ABCD соседние углы в сумме составляют 180^ , поэтому ABC = 180^ - alpha. Противоположные углы равны: ADC = ABC = 180^ - alpha . Точка E лежит на стороне BC , следовательно, ABE = ABC = 180^ - alpha . Точка K лежит на стороне CD , значит, ADK = ADC = 180^ - alpha . Таким образом, ABE = ADK . Оба этих угла являются вписанными в окружность, проходящую через точки A, B, D, E, K . Угол ABE опирается на дугу AE , а угол ADK — на дугу AK . Из равенства вписанных углов следует равенство соответствующих дуг, а потому равны и стягивающие их хорды: AE = AK. б) Найдём длину стороны AD . Из условия cos BAD = 0,2 , значит, alpha = BAD , = 0,2 . В параллелограмме противоположные углы равны: BCD = alpha . Так как AD BC , то накрест лежащие углы, образованные секущей DE , равны: CED = ADE. Четырёхугольник ABED вписан в окружность, поэтому сумма противоположных углов равна 180^ : ABE + ADE = 180^. Но ABE = ABC = 180^ - alpha , откуда ADE = alpha . Следовательно, CED = alpha . Рассмотрим треугольник CDE . В нём DCE = BCD = alpha (так как точка E лежит на BC ) и CED = alpha . Значит, треугольник равнобедренный с основанием CE , поэтому CD = DE. В параллелограмме CD = AB , поэтому DE = AB = CD . Обозначим CD = b . В треугольнике CDE известны: CE = 10 , CD = DE = b , CED = alpha . По теореме косинусов: CD^2 = CE^2 + DE^2 - 2* CE* DE*, b^2 = 10^2 + b^2 - 2* 10* b* 0,2, 0 = 100 - 4b => b = 25. Таким образом, CD = 25 . Точка K лежит на стороне CD , DK = 9 , значит, CK = CD - DK = 25 - 9 = 16. Теперь применим теорему о секущих из точки C . Одна секущая пересекает окружность в точках B и E , другая — в точках K и D . Тогда: CE* CB = CK* CD. В параллелограмме CB = BC = AD . Пусть AD = a , тогда CB = a . Подставляем известные значения: 10* a = 16* 25 = 400 => a = 40. Ответ: 40

\(40\)