Задача №15337

Окружность проходит через вершины $A\text{,}$ $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD\text{,}$ пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $E$ и пересекает сторону $CD$ в точках $K$ и $D\text{.}$

а) Докажите, что $AE=AK\text{.}$

б) Найдите $AD\text{,}$ если $CE=10\text{,}$ $DK=9$ и $\cos \angle BAD=0,2\text{.}$

а) Докажем, что $AE=AK\text{.}$
Обозначим $\angle BAD=\alpha \text{.}$ В параллелограмме $ABCD$ соседние углы в сумме составляют $180^{\circ }\text{,}$ поэтому

$$\angle ABC=180^{\circ }-\alpha .$$

Противоположные углы равны: $\angle ADC=\angle ABC=180^{\circ }-\alpha \text{.}$
Точка $E$ лежит на стороне $BC\text{,}$ следовательно, $\angle ABE=\angle ABC=180^{\circ }-\alpha \text{.}$
Точка $K$ лежит на стороне $CD\text{,}$ значит, $\angle ADK=\angle ADC=180^{\circ }-\alpha \text{.}$
Таким образом, $\angle ABE=\angle ADK\text{.}$

Оба этих угла являются вписанными в окружность, проходящую через точки $A,B,D,E,K\text{.}$ Угол $\angle ABE$ опирается на дугу $AE\text{,}$ а угол $\angle ADK$ — на дугу $AK\text{.}$ Из равенства вписанных углов следует равенство соответствующих дуг, а потому равны и стягивающие их хорды:

$$AE=AK.$$

б) Найдём длину стороны $AD\text{.}$
Из условия $\cos \angle BAD=0,2\text{,}$ значит, $\alpha =\angle BAD\text{,}$ $\cos \alpha =0,2\text{.}$
В параллелограмме противоположные углы равны: $\angle BCD=\alpha \text{.}$

Так как $AD\parallel BC\text{,}$ то накрест лежащие углы, образованные секущей $DE\text{,}$ равны:

$$\angle CED=\angle ADE.$$

Четырёхугольник $ABED$ вписан в окружность, поэтому сумма противоположных углов равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle ABE+\angle ADE=180^{\circ }.$$

Но $\angle ABE=\angle ABC=180^{\circ }-\alpha \text{,}$ откуда $\angle ADE=\alpha \text{.}$ Следовательно, $\angle CED=\alpha \text{.}$

Рассмотрим треугольник $CDE\text{.}$ В нём $\angle DCE=\angle BCD=\alpha$ (так как точка $E$ лежит на $BC$) и $\angle CED=\alpha \text{.}$ Значит, треугольник равнобедренный с основанием $CE\text{,}$ поэтому

$$CD=DE.$$

В параллелограмме $CD=AB\text{,}$ поэтому $DE=AB=CD\text{.}$ Обозначим $CD=b\text{.}$

В треугольнике $CDE$ известны: $CE=10\text{,}$ $CD=DE=b\text{,}$ $\angle CED=\alpha \text{.}$ По теореме косинусов:

$$C{D}^2=C{E}^2+D{E}^2-2\cdot CE\cdot DE\cdot \cos \alpha ,$$ $$b^2=10^2+b^2-2\cdot 10\cdot b\cdot 0,2,$$ $$0=100-4b\Rightarrow b=25.$$

Таким образом, $CD=25\text{.}$ Точка $K$ лежит на стороне $CD\text{,}$ $DK=9\text{,}$ значит,

$$CK=CD-DK=25-9=16.$$

Теперь применим теорему о секущих из точки $C\text{.}$ Одна секущая пересекает окружность в точках $B$ и $E\text{,}$ другая — в точках $K$ и $D\text{.}$ Тогда:

$$CE\cdot CB=CK\cdot CD.$$

В параллелограмме $CB=BC=AD\text{.}$ Пусть $AD=a\text{,}$ тогда $CB=a\text{.}$ Подставляем известные значения:

$$10\cdot a=16\cdot 25=400\Rightarrow a=40.$$

Ответ: 40