Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB = CD = 3, BC = DE = 4. а) Докажите, что AC = CE. б) Найдите длину диагонали BE, если AD = 6.

а) В окружности равные хорды стягивают равные дуги. Из условий AB = CD = 3 и BC = DE = 4 получаем: U AB = U CD , U BC = U DE . Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны: - ACB опирается на U AB , CED — на U CD , значит ACB = CED ; - BAC опирается на U BC , DCE — на U DE , значит BAC = DCE . Сумма углов треугольника равна 180^, поэтому в треугольниках ABC и CDE: ABC = 180^ - BAC - ACB , CDE = 180^ - DCE - CED , откуда ABC = CDE . Таким образом, в треугольниках ABC и CDE: AB = CD = 3 , BAC = DCE , ABC = CDE . Треугольники равны по второму признаку (сторона и два прилежащих угла). Следовательно, AC = CE. б) Пусть диагонали AD и BE пересекаются в точке M. Из равенства дуг U BC = U DE следует: BEC = DCE (опираются на эти дуги). Углы DCE и BEC — накрест лежащие при прямых CD и BE и секущей CE, поэтому CD BE. Аналогично из U AB = U CD : ACB = CAD (опираются на эти дуги), и так как это накрест лежащие углы при прямых BC и AD и секущей AC, то BC AD. Таким образом, в четырёхугольнике BCDM противолежащие стороны попарно параллельны: BC AD и CD BE. Значит, BCDM — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны: BM = CD = 3 , MD = BC = 4 . Дано AD = 6. Так как AD = AM + MD, то AM = AD - MD = 6 - 4 = 2. Рассмотрим пересекающиеся хорды AD и BE. По свойству пересекающихся хорд окружности: AM* MD = BM* ME. Подставляем известные значения: 2* 4 = 3* ME=> 8 = 3* ME=> ME = (8)/(3). Тогда длина диагонали BE равна: BE = BM + ME = 3 + (8)/(3) = (9 + 8)/(3) = (17)/(3). Ответ: (17)/(3)

\(\dfrac{17}{3}\)