Задача №15336

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB=CD=3\text{,}$ $BC=DE=4\text{.}$

а) Докажите, что $AC=CE\text{.}$

б) Найдите длину диагонали $BE\text{,}$ если $AD=6\text{.}$

а) В окружности равные хорды стягивают равные дуги. Из условий $AB=CD=3$ и $BC=DE=4$ получаем:
$\cup AB=\cup CD\text{,}$ $\cup BC=\cup DE\text{.}$

Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны:

• $\angle ACB$ опирается на $\cup AB\text{,}$ $\angle CED$ — на $\cup CD\text{,}$ значит $\angle ACB=\angle CED\text{;}$
• $\angle BAC$ опирается на $\cup BC\text{,}$ $\angle DCE$ — на $\cup DE\text{,}$ значит $\angle BAC=\angle DCE\text{.}$

Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }\text{,}$ поэтому в треугольниках $ABC$ и $CDE\text{:}$
$\angle ABC=180^{\circ }-\angle BAC-\angle ACB\text{,}$ $\angle CDE=180^{\circ }-\angle DCE-\angle CED\text{,}$
откуда $\angle ABC=\angle CDE\text{.}$

Таким образом, в треугольниках $ABC$ и $CDE\text{:}$
$AB=CD=3\text{,}$ $\angle BAC=\angle DCE\text{,}$ $\angle ABC=\angle CDE\text{.}$

Треугольники равны по второму признаку (сторона и два прилежащих угла). Следовательно, $AC=CE\text{.}$

б) Пусть диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $M\text{.}$
Из равенства дуг $\cup BC=\cup DE$ следует:
$\angle BEC=\angle DCE$ (опираются на эти дуги).

Углы $\angle DCE$ и $\angle BEC$ — накрест лежащие при прямых $CD$ и $BE$ и секущей $CE\text{,}$ поэтому $CD\parallel BE\text{.}$

Аналогично из $\cup AB=\cup CD\text{:}$
$\angle ACB=\angle CAD$ (опираются на эти дуги),
и так как это накрест лежащие углы при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC\text{,}$ то $BC\parallel AD\text{.}$

Таким образом, в четырёхугольнике $BCDM$ противолежащие стороны попарно параллельны: $BC\parallel AD$ и $CD\parallel BE\text{.}$ Значит, $BCDM$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны:
$BM=CD=3\text{,}$ $MD=BC=4\text{.}$

Дано $AD=6\text{.}$ Так как $AD=AM+MD\text{,}$ то $AM=AD-MD=6-4=2\text{.}$

Рассмотрим пересекающиеся хорды $AD$ и $BE\text{.}$ По свойству пересекающихся хорд окружности:

$$AM\cdot MD=BM\cdot ME.$$

Подставляем известные значения:

$$2\cdot 4=3\cdot ME\Rightarrow 8=3\cdot ME\Rightarrow ME=\frac{8}{3}.$$

Тогда длина диагонали $BE$ равна:

$$BE=BM+ME=3+\frac{8}{3}=\frac{9+8}{3}=\frac{17}{3}.$$

Ответ: $\frac{17}{3}$