Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O . Через точку O провели прямую, параллельную основаниям BC и AD . а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне. б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если AO = CO и данная прямая делит сторону AB в отношении AM : MB = 1 : 2 .

а) Пусть BAD = alpha . В равнобедренной трапеции BCD = 180^ - alpha . Так как AK — биссектриса угла BAD (где K — точка на прямой BC ), то BAK = KAD = (alpha)/(2) . Поскольку BC AD , накрест лежащие углы равны: BKA = KAD = (alpha)/(2) . Таким образом, в треугольнике ABK углы при основании AK равны, следовательно, он равнобедренный: BK = AB . Аналогично для биссектрисы CL угла BCD (где L на прямой AD ): DCL = LCB = (180^ - alpha)/(2) = 90^ - (alpha)/(2) . Угол DLC = LCB = 90^ - (alpha)/(2) как накрест лежащий. Следовательно, треугольник CDL равнобедренный: DL = CD . В равнобедренной трапеции AB = CD = c , поэтому BK = DL = c . Пусть прямая, проходящая через O , пересекает боковые стороны в точках M и N . По подобию треугольников (или теореме Фалеса): MO BK => (MO)/(BK) = (AM)/(AB) => MO = c * (AM)/(AB) ON DL => (ON)/(DL) = (CN)/(CD) Поскольку MN AD , по теореме Фалеса (CN)/(CD) = (BM)/(BA) . Тогда: ON = c * (BM)/(AB) MN = MO + ON = c * ( (AM + MB)/(AB) ) = c * (AB)/(AB) = c = AB Отрезок прямой равен боковой стороне трапеции. б) По условию AM : MB = 1 : 2 , значит AM = (1)/(3)c , MB = (2)/(3)c . Из подобия AMO ABK имеем (AO)/(AK) = (AM)/(AB) = (1)/(3) . Из подобия для ON и CL имеем (CO)/(CL) = (CN)/(CD) = (MB)/(AB) = (2)/(3) . Условие AO = CO даёт: (1)/(3) AK = (2)/(3) CL => AK = 2 CL Выразим длины биссектрис из равнобедренных треугольников ABK и CDL : AK = 2c cos ( (alpha)/(2) ), CL = 2c sin ( (alpha)/(2) ) Тогда: 2c cos ( (alpha)/(2) ) = 4c sin ( (alpha)/(2) ) => tg ( (alpha)/(2) ) = (1)/(2) Отсюда: cos alpha = (1 - tg^2 ( alpha2 ))/(1 + tg^2 ( alpha2 )) = (1 - 14)/(1 + 14) = (3)/(5) Пусть AD = a , BC = b . В равнобедренной трапеции a = b + 2c cos alpha = b + (6)/(5)c . Высота трапеции h = c sin alpha = (4)/(5)c . Точка O находится на высоте h_O = (1)/(3)h = (4)/(15)c от основания AD (так как AM = (1)/(3)AB ). Воспользуемся методом координат: A(0; 0) , биссектриса AK задаётся как y = x tg ( (alpha)/(2) ) = (1)/(2)x . При y_O = (4)/(15)c получаем x_O = (8)/(15)c . Точка C имеет координаты (b + 0,6c; 0,8c) , а L имеет координаты (a - c; 0) . Уравнение CL через L имеет вид y = k(x - (a - c)) , где k = (0,8c)/((b + 0,6c) - (a - c)) = (0,8c)/(0,4c) = 2 . Подставляя O(x_O; y_O) в уравнение y = 2(x - a + c) : (4)/(15)c = 2 ( (8)/(15)c - a + c ) => (2)/(15)c = (8)/(15)c - a + c => a = (21)/(15)c = (7)/(5)c b = a - (6)/(5)c = (7)/(5)c - (6)/(5)c = (1)/(5)c Отношение AD : BC = a : b = 7 : 1 . Ответ: 7 : 1

а) утверждение доказано б) 7 : 1