Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD , пересекает его диагональ AC в точке M , а диагональ BD в точке N , причём AM : MC = 1 : 2 , BN : ND = 1 : 3 . а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1 : 4 . б) Найдите сторону ромба, если MN = sqrt(6) .

а) Пусть сторона ромба равна a , а высота — h . Обозначим угол ABC через beta . Поскольку прямая MN перпендикулярна стороне BC , проекции точек M и N на прямую BC совпадают. Пусть эта общая проекция — точка H . Пусть A' и D' — проекции вершин A и D на прямую BC . Обозначим длину отрезка BA' через x . С учётом расположения вершин ромба ABCD , проекция точки C на BC совпадает с C (координата a ), а проекция D' имеет координату a + x (так как BD = BC + BA ). Точка M лежит на диагонали AC и AM : MC = 1 : 2 . Тогда проекция точки M (точка H ) делит проекцию отрезка AC в том же отношении: H = (2* A' + 1* C)/(3) = (2x + a)/(3) Точка N лежит на диагонали BD и BN : ND = 1 : 3 . Тогда её проекция H делит проекцию BD в отношении 1 : 3 : H = (3* B + 1* D')/(4) = (3* 0 + (a + x))/(4) = (a + x)/(4) Приравняем значения для H : (2x + a)/(3) = (a + x)/(4) => 8x + 4a = 3a + 3x => 5x = -a => x = -(a)/(5) Подставим x в выражение для H : H = (a - a5)/(4) = (4a5)/(4) = (a)/(5) Следовательно, точка H лежит на стороне BC , причём BH = (a)/(5) . Тогда HC = a - (a)/(5) = (4a)/(5) . Отношение BH : HC = 1 : 4 , что и требовалось доказать. б) Длина отрезка MN равна разности расстояний точек M и N до прямой BC . Расстояние от A до BC равно h , от C до BC равно 0 . Тогда расстояние от M до BC равно: d(M, BC) = (2* h + 1* 0)/(3) = (2h)/(3) Расстояние от B до BC равно 0 , от D до BC равно h . Тогда расстояние от N до BC равно: d(N, BC) = (3* 0 + 1* h)/(4) = (h)/(4) Тогда MN = | (2h)/(3) - (h)/(4) | = (5h)/(12) . В прямоугольном треугольнике, образованном вершиной A , её проекцией A' и вершиной B , гипотенуза AB = a , катет BA' = |x| = (a)/(5) . Тогда высота h : h = sqrt(a^2 - ((a)/(5))^2) = sqrt((24a^2)/(25)) = (2sqrt(6)a)/(5) Подставим h в формулу для MN : MN = (5)/(12)* (2sqrt(6)a)/(5) = (sqrt(6)a)/(6) По условию MN = sqrt(6) , следовательно: (sqrt(6)a)/(6) = sqrt(6) => a = 6 Ответ: 6

а) 1:4 б) 6