Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ
Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM:MC=1:2, BN:ND=1:3.
а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1:4.
б) Найдите сторону ромба, если MN=6.
а) Пусть сторона ромба равна a, а высота — h. Обозначим угол ∠ABC через β.
Поскольку прямая MN перпендикулярна стороне BC, проекции точек M и N на прямую BC совпадают. Пусть эта общая проекция — точка H.
Пусть A′ и D′ — проекции вершин A и D на прямую BC. Обозначим длину отрезка BA′ через x. С учётом расположения вершин ромба ABCD, проекция точки C на BC совпадает с C (координата a), а проекция D′ имеет координату a+x (так как BD=BC+BA).
Точка M лежит на диагонали AC и AM:MC=1:2. Тогда проекция точки M (точка H) делит проекцию отрезка AC в том же отношении:
H=32⋅A′+1⋅C=32x+aТочка N лежит на диагонали BD и BN:ND=1:3. Тогда её проекция H делит проекцию BD в отношении 1:3:
H=43⋅B+1⋅D′=43⋅0+(a+x)=4a+xПриравняем значения для H:
32x+a=4a+x⇒8x+4a=3a+3x⇒5x=−a⇒x=−5aПодставим x в выражение для H:
H=4a−5a=454a=5aСледовательно, точка H лежит на стороне BC, причём BH=5a. Тогда HC=a−5a=54a. Отношение BH:HC=1:4, что и требовалось доказать.
б) Длина отрезка MN равна разности расстояний точек M и N до прямой BC.
Расстояние от A до BC равно h, от C до BC равно 0. Тогда расстояние от M до BC равно:
d(M,BC)=32⋅h+1⋅0=32hРасстояние от B до BC равно 0, от D до BC равно h. Тогда расстояние от N до BC равно:
d(N,BC)=43⋅0+1⋅h=4hТогда MN=32h−4h=125h.
В прямоугольном треугольнике, образованном вершиной A, её проекцией A′ и вершиной B, гипотенуза AB=a, катет BA′=∣x∣=5a. Тогда высота h:
h=a2−(5a)2=2524a2=526aПодставим h в формулу для MN:
MN=125⋅526a=66aПо условию MN=6, следовательно:
66a=6⇒a=6Ответ: 6