Решите неравенство (10^x - 25* 2^x - 2* 5^x + 50)/(5x - x^2 - 4) 0.
Преобразуем числитель: 10^x - 25* 2^x - 2* 5^x + 50 = 5^x* 2^x - 25* 2^x - 2* 5^x + 50 . Сгруппируем: (10^x - 2* 5^x) - (25* 2^x - 50) = 5^x (2^x - 2) - 25 (2^x - 2) = (2^x - 2)(5^x - 25) . Знаменатель: 5x - x^2 - 4 = -(x^2 - 5x + 4) = -(x-1)(x-4) . Неравенство принимает вид: ((2^x - 2)(5^x - 25))/(-(x-1)(x-4)) 0 <=> ((2^x - 2)(5^x - 25))/((x-1)(x-4)) 0. Решаем методом интервалов. Найдём нули числителя: 2^x = 2=> x = 1 ; 5^x = 25=> x = 2 . Нули знаменателя: x = 1 , x = 4 . Отметим точки на числовой прямой: x = 1 (нуль числителя и знаменателя, выколота), x = 2 , x = 4 . Определим знаки на интервалах: На (-inf, 1) : 2^x - 2 < 0 , 5^x - 25 < 0 , (x-1)(x-4) > 0 ⇒ дробь > 0 ⇒ не подходит. На (1, 2) : 2^x - 2 > 0 , 5^x - 25 < 0 , (x-1)(x-4) < 0 ⇒ дробь > 0 ⇒ не подходит. На (2, 4) : 2^x - 2 > 0 , 5^x - 25 > 0 , (x-1)(x-4) < 0 ⇒ дробь < 0 ⇒ подходит. На (4, +inf) : 2^x - 2 > 0 , 5^x - 25 > 0 , (x-1)(x-4) > 0 ⇒ дробь > 0 ⇒ не подходит. Точка x = 2 — нуль числителя, включается. Ответ: [2, 4) .
\([2,4)\)