Задача №15332

Решите неравенство

$$\frac{10^x-25\cdot 2^x-2\cdot 5^x+50}{5x-x^2-4}⩾0.$$

Преобразуем числитель:

$10^x-25\cdot 2^x-2\cdot 5^x+50=5^x\cdot 2^x-25\cdot 2^x-2\cdot 5^x+50\text{.}$

Сгруппируем:

$(10^x-2\cdot 5^x)-(25\cdot 2^x-50)=5^x(2^x-2)-25(2^x-2)=(2^x-2)(5^x-25)\text{.}$

Знаменатель:

$5x-x^2-4=-(x^2-5x+4)=-(x-1)(x-4)\text{.}$

Неравенство принимает вид:

$$\frac{(2^x-2)(5^x-25)}{-(x-1)(x-4)}⩾0\iff \frac{(2^x-2)(5^x-25)}{(x-1)(x-4)}⩽0.$$

Решаем методом интервалов.

Найдём нули числителя:

$2^x=2\Rightarrow x=1\text{;}$

$5^x=25\Rightarrow x=2\text{.}$

Нули знаменателя: $x=1\text{,}$ $x=4\text{.}$

Отметим точки на числовой прямой: $x=1$ (нуль числителя и знаменателя, выколота), $x=2\text{,}$ $x=4\text{.}$

Определим знаки на интервалах:

1. На $(-\infty ,1)\text{:}$ $2^x-2<0\text{,}$ $5^x-25<0\text{,}$ $(x-1)(x-4)>0$ ⇒ дробь $>0$ ⇒ не подходит.
2. На $(1,2)\text{:}$ $2^x-2>0\text{,}$ $5^x-25<0\text{,}$ $(x-1)(x-4)<0$ ⇒ дробь $>0$ ⇒ не подходит.
3. На $(2,4)\text{:}$ $2^x-2>0\text{,}$ $5^x-25>0\text{,}$ $(x-1)(x-4)<0$ ⇒ дробь $<0$ ⇒ подходит.
4. На $(4,+\infty )\text{:}$ $2^x-2>0\text{,}$ $5^x-25>0\text{,}$ $(x-1)(x-4)>0$ ⇒ дробь $>0$ ⇒ не подходит.

Точка $x=2$ — нуль числителя, включается.

Ответ: $[2,4)\text{.}$