Задача №15331

Решите неравенство ${\log }_2(4x^2-1)-{\log }_{2}x⩽{\log }_2\left(5x+\frac{9}{x}-11\right)\text{.}$

Найдём ОДЗ:

Решим первое неравенство:

С учётом $x>0$ получаем $x>\frac{1}{2}\text{.}$

Третье неравенство: $5x+\frac{9}{x}-11>0\text{.}$ Умножим на $x>0\text{:}$

Дискриминант $D=121-180=-59<0\text{,}$ старший коэффициент положителен, поэтому неравенство верно при всех $x\text{.}$ Таким образом, ОДЗ: $x>\frac{1}{2}\text{.}$

Преобразуем исходное неравенство:

Логарифмическая функция с основанием $2>1$ возрастает, поэтому:

Умножим на $x>0\text{:}$

Корни: $x_1=1\text{,}$ $x_2=10\text{.}$ Решение: $x⩽1$ или $x⩾10\text{.}$

Учитывая ОДЗ $x>\frac{1}{2}\text{,}$ получаем:

Ответ: