Решите неравенство
16x2−4⋅4x2+48x3−4x2−2x+1⩽0.Рассмотрим неравенство
16x2−4⋅4x2+48x3−4x2−2x+1⩽0.Заметим, что знаменатель можно преобразовать:
16x2−4⋅4x2+4=(4x2)2−4⋅4x2+4=(4x2−2)2.Знаменатель — квадрат выражения, поэтому он неотрицателен и равен нулю только при 4x2=2, т.е. 22x2=21, откуда 2x2=1, x2=21, x=±21. В этих точках знаменатель обращается в ноль, поэтому они не входят в ОДЗ. При всех остальных x знаменатель строго положителен. Тогда неравенство равносильно
8x3−4x2−2x+1⩽0,x=±21.Разложим числитель на множители. Попробуем группировку:
8x3−4x2−2x+1=4x2(2x−1)−1(2x−1)=(2x−1)(4x2−1)=(2x−1)(2x−1)(2x+1)=(2x−1)2(2x+1).Получаем неравенство
(2x−1)2(2x+1)⩽0.Квадрат всегда неотрицателен, поэтому неравенство выполняется, когда
(2x−1)2=0или2x+1⩽0.Из (2x−1)2=0 получаем x=21. Но при x=21 знаменатель: 41/4−2=2−2=0, поэтому точка входит. Из 2x+1⩽0 получаем x⩽−21. Учитываем исключённые точки: x=−21≈−0.707... лежит на луче x⩽−21, поэтому её нужно выколоть. Окончательно:
x⩽−21,x=−21,илиx=21.Ответ: x∈(−∞;−21)∪(−21;−21]∪{21}
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ