Задача №15329

Решите неравенство

$$\frac{27^x-9^{x+1}+3^{x+3}-27}{50x^2-110x+60,5}⩾0.$$

Преобразуем числитель: $27^x-9^{x+1}+3^{x+3}-27=(3^x{)}^3-9\cdot 9^x+27\cdot 3^x-27\text{.}$

Заметим, что это выражение можно разложить на множители, группируя: $(3^x{)}^3-9\cdot (3^x{)}^2+27\cdot 3^x-27\text{.}$

Сделаем замену $t=3^x>0\text{.}$ Тогда числитель: $t^3-9t^2+27t-27\text{.}$

Узнаём формулу куба разности: $(t-3{)}^3\text{.}$ Таким образом, числитель равен $(3^x-3{)}^3\text{.}$

Знаменатель: $50x^2-110x+60,5=50x^2-110x+\frac{121}{2}=\frac{1}{2}(100x^2-220x+121)=\frac{1}{2}((10x{)}^2-2\cdot 10x\cdot 11+11^2)=\frac{1}{2}(10x-11{)}^2\text{.}$

Неравенство принимает вид:

$$\frac{(3^x-3{)}^3}{\frac{1}{2}(10x-11{)}^2}⩾0.$$

Знаменатель $\frac{1}{2}(10x-11{)}^2⩾0$ при всех $x\text{,}$ и равен нулю при $x=1,1\text{.}$ При $x\ne 1,1$ знаменатель положителен.

Тогда неравенство равносильно $(3^x-3{)}^3⩾0\text{,}$ откуда $3^x-3⩾0\Rightarrow 3^x⩾3\Rightarrow x⩾1\text{.}$

Учитываем, что при $x=1,1$ знаменатель обращается в ноль, поэтому эта точка не входит в решение.

Ответ: $x⩾1\text{,}$ $x\ne 1,1\text{.}$