Решите неравенство (8^(x+1)-40)/(2* 64^x-32) 1.

Сделаем замену: 8^x = t > 0. Тогда 64^x = (8^x)^2 = t^2. Неравенство принимает вид: (8* t - 40)/(2t^2 - 32) 1. Преобразуем: (8t - 40)/(2t^2 - 32) - 1 0<=> (8t - 40 - 2t^2 + 32)/(2t^2 - 32) 0<=> (-2t^2 + 8t - 8)/(2(t^2 - 16)) 0. Упростим числитель: -2t^2 + 8t - 8 = -2(t^2 - 4t + 4) = -2(t - 2)^2. Получаем: (-2(t - 2)^2)/(2(t^2 - 16)) 0<=> -((t - 2)^2)/(t^2 - 16) 0<=> ((t - 2)^2)/(t^2 - 16) 0. Квадрат всегда неотрицателен, поэтому неравенство равносильно условию, что знаменатель положителен (кроме точек, где числитель равен нулю, но там неравенство нестрогое, поэтому они включаются, если знаменатель не обращается в ноль). Имеем: t^2 - 16 > 0 или t = 2. Решаем t^2 > 16<=> t > 4 (так как t > 0). Также t = 2 — корень числителя, но при t = 2 знаменатель 2* 4 - 32 = -24!= 0, поэтому t = 2 также является решением. Таким образом, t = 2 или t > 4. Возвращаемся к x: 8^x = 2<=> 2^(3x) = 2^1<=> 3x = 1<=> x = (1)/(3), 8^x > 4<=> 2^(3x) > 2^2<=> 3x > 2<=> x > (2)/(3). Ответ: x = (1)/(3) или x > (2)/(3).

\({1/3}\cup(2/3;+\infty)\)