В треугольнике ABC точки A_1 , B_1 и C_1 — середины сторон BC , AC и AB соответственно, AH — высота, BAC = 120^() , BCA = 45^() . а) Докажите, что точки A_1 , B_1 , C_1 и H лежат на одной окружности. б) Найдите A_1H , если BC = 6sqrt(3) .

а) Рассмотрим треугольник ABH: AHB = 90^, так как AH — высота. C_1 — середина гипотенузы AB, поэтому C_1H = C_1B = (AB)/(2). В треугольнике ABC отрезок A_1B_1 — средняя линия, параллельная AB и равная (AB)/(2). Таким образом, C_1H = A_1B_1. Отрезок C_1B_1 — также средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне BC. Поскольку A_1H лежит на прямой BC, имеем C_1B_1 A_1H. В четырёхугольнике A_1B_1C_1H стороны C_1B_1 и A_1H параллельны, а боковые стороны C_1H и A_1B_1 равны. Значит, A_1B_1C_1H — равнобедренная трапеция. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность, следовательно, точки A_1, B_1, C_1 и H лежат на одной окружности. б) В треугольнике ABC известны: BAC = 120^, BCA = 45^, тогда ABC = 180^ - 120^ - 45^ = 15^. Сторона BC = 6sqrt(3). По теореме синусов: (BC)/(sin 120^) = (AB)/(sin 45^). sin 120^ = sin 60^ = (sqrt(3))/(2), sin 45^ = (sqrt(2))/(2) . Подставляем: (6sqrt(3))/(sqrt(3)/2) = (AB)/(sqrt(2)/2) => 12 = (AB)/(sqrt(2)/2) => AB = 12*(sqrt(2))/(2) = 6sqrt(2). В прямоугольном треугольнике ABH ( AHB = 90^) катет BH прилежит к углу B = 15^: BH = AB*cos 15^. Значение cos 15^ = cos(45^ - 30^) = cos 45^ 30^ + sin 45^ 30^ = (sqrt(2))/(2)*(sqrt(3))/(2) + (sqrt(2))/(2)*(1)/(2) = (sqrt(6) + sqrt(2))/(4). Тогда BH = 6sqrt(2)*(sqrt(6) + sqrt(2))/(4) = (6)/(4)*sqrt(2)(sqrt(6) + sqrt(2)) = (3)/(2)* (sqrt(12) + 2) = (3)/(2)* (2sqrt(3) + 2) = 3(sqrt(3) + 1). Точка A_1 — середина BC, поэтому BA_1 = (BC)/(2) = 3sqrt(3). Проверим положение точки H на стороне BC. Вычислим CH из треугольника ACH: AC найдём по теореме синусов: (BC)/(sin 120^) = (AC)/(sin 15^) => AC = 12*sin 15^ = 12*(sqrt(6) - sqrt(2))/(4) = 3(sqrt(6) - sqrt(2)). В треугольнике ACH ( AHC = 90^) катет CH = AC*cos 45^ = 3(sqrt(6) - sqrt(2)) *(sqrt(2))/(2) = 3(sqrt(3) - 1). Заметим, что BH + CH = 3(sqrt(3) + 1) + 3(sqrt(3) - 1) = 6sqrt(3) = BC, следовательно, точка H лежит на отрезке BC между B и C. Тогда отрезок A_1H можно найти как разность: A_1H = |BH - BA_1| = |3(sqrt(3) + 1) - 3sqrt(3)| = 3. Таким образом, A_1H = 3. Ответ: 3

а) доказано б) 3