Задача №15326

В треугольнике $ABC$ точки $A_1\text{,}$ $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC\text{,}$ $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=120^{\circ }\text{,}$ $\angle BCA=45^{\circ }\text{.}$

а) Докажите, что точки $A_1\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_{1}H\text{,}$ если $BC=6\sqrt{3}\text{.}$

а) Рассмотрим треугольник $ABH\text{:}$ $\angle AHB=90^{\circ }\text{,}$ так как $AH$ — высота. $C_1$ — середина гипотенузы $AB\text{,}$ поэтому $C_{1}H=C_{1}B=\frac{AB}{2}\text{.}$ В треугольнике $ABC$ отрезок $A_1{B}_1$ — средняя линия, параллельная $AB$ и равная $\frac{AB}{2}\text{.}$ Таким образом, $C_{1}H=A_1{B}_1\text{.}$

Отрезок $C_1{B}_1$ — также средняя линия треугольника $ABC\text{,}$ параллельная стороне $BC\text{.}$ Поскольку $A_{1}H$ лежит на прямой $BC\text{,}$ имеем $C_1{B}_1\parallel A_{1}H\text{.}$

В четырёхугольнике $A_1{B}_1{C}_{1}H$ стороны $C_1{B}_1$ и $A_{1}H$ параллельны, а боковые стороны $C_{1}H$ и $A_1{B}_1$ равны. Значит, $A_1{B}_1{C}_{1}H$ — равнобедренная трапеция. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность, следовательно, точки $A_1\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) В треугольнике $ABC$ известны: $\angle BAC=120^{\circ }\text{,}$ $\angle BCA=45^{\circ }\text{,}$ тогда $\angle ABC=180^{\circ }-120^{\circ }-45^{\circ }=15^{\circ }\text{.}$ Сторона $BC=6\sqrt{3}\text{.}$

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin 120^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 45^{\circ }}.$$

$\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}$ Подставляем:

$$\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2}=\frac{AB}{\sqrt{2}/2}\Rightarrow 12=\frac{AB}{\sqrt{2}/2}\Rightarrow AB=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\angle AHB=90^{\circ }$) катет $BH$ прилежит к углу $B=15^{\circ }\text{:}$

$$BH=AB\cdot \cos 15^{\circ }.$$

Значение

$$\cos 15^{\circ }=\cos (45^{\circ }-30^{\circ })=\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$$

Тогда

$$BH=6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{6}{4}\cdot \sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})=\frac{3}{2}\cdot (\sqrt{12}+2)=\frac{3}{2}\cdot (2\sqrt{3}+2)=3(\sqrt{3}+1).$$

Точка $A_1$ — середина $BC\text{,}$ поэтому

$$B{A}_1=\frac{BC}{2}=3\sqrt{3}.$$

Проверим положение точки $H$ на стороне $BC\text{.}$ Вычислим $CH$ из треугольника $ACH\text{:}$

$AC$ найдём по теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin 120^{\circ }}=\frac{AC}{\sin 15^{\circ }}\Rightarrow AC=12\cdot \sin 15^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=3(\sqrt{6}-\sqrt{2}).$$

В треугольнике $ACH$ ($\angle AHC=90^{\circ }$) катет $CH=AC\cdot \cos 45^{\circ }=3(\sqrt{6}-\sqrt{2})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3(\sqrt{3}-1)\text{.}$

Заметим, что $BH+CH=3(\sqrt{3}+1)+3(\sqrt{3}-1)=6\sqrt{3}=BC\text{,}$ следовательно, точка $H$ лежит на отрезке $BC$ между $B$ и $C\text{.}$ Тогда отрезок $A_{1}H$ можно найти как разность:

$$A_{1}H=|BH-B{A}_1|=|3(\sqrt{3}+1)-3\sqrt{3}|=3.$$

Таким образом, $A_{1}H=3\text{.}$

Ответ: $3$