Задача №15325

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t=1;2;\dots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 10%.

В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей?

Если продать ценные бумаги в конце года $k\text{,}$ то к концу 25-го года сумма на счете составит $k^2\cdot 1,1^{25-k}$ тыс. руб. Сравним значения для соседних $k\text{:}$ продажа в году $k+1$ выгоднее, чем в году $k\text{,}$ если

$$(k+1{)}^2\cdot 1,1^{24-k}>k^2\cdot 1,1^{25-k}$$

то есть $(k+1{)}^2>1,1k^2\text{,}$ или $\frac{k+1}{k}>\sqrt{1,1}\approx 1,0488\text{.}$ Отсюда $1/k>0,0488\text{,}$ $k<20,49\text{.}$ Значит, для $k\le 20$ продажа в следующем году выгоднее.

Проверим значения:

$$f(20)=400\cdot 1,1^5=400\cdot 1,61051=644,204$$ $$f(21)=441\cdot 1,1^4=441\cdot 1,4641=645,6681$$ $$f(22)=484\cdot 1,1^3=484\cdot 1,331=644,204$$

Максимум достигается при $k=21\text{.}$

Ответ: в конце 21-го года.