Задача №15324

Окружность с центром $O_1$ касается оснований $BC$ и $AD$ и боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD\text{.}$ Окружность с центром $O_2$ касается сторон $BC\text{,}$ $CD$ и $AD\text{.}$ Известно, что $AB=10\text{,}$ $BC=9\text{,}$ $CD=30\text{,}$ $AD=39\text{.}$

а) Докажите, что прямая $O_1{O}_2$ параллельна основаниям трапеции $ABCD\text{.}$
б) Найдите $O_1{O}_2\text{.}$

а) Окружность, касающаяся двух параллельных прямых, имеет диаметр, равный расстоянию между этими прямыми. Следовательно, радиусы обеих окружностей равны $r_1=r_2=\frac{h}{2}\text{,}$ где $h$ — высота трапеции. Центры $O_1$ и $O_2$ находятся на одинаковом расстоянии $\frac{h}{2}$ от основания $AD\text{,}$ следовательно, прямая $O_1{O}_2$ параллельна основаниям $AD$ и $BC\text{.}$

б) Пусть $H_1$ и $H_2$ — проекции точек $B$ и $C$ на основание $AD\text{.}$ Тогда $H_1{H}_2=BC=9\text{.}$ Пусть $A{H}_1=x\text{,}$ тогда $H_{2}D=AD-BC-x=39-9-x=30-x\text{.}$

Из прямоугольных треугольников $AB{H}_1$ и $CD{H}_2$ по теореме Пифагора:

$$h^2=A{B}^2-A{H}_1^2=C{D}^2-H_2{D}^2$$ $$100-x^2=900-(30-x{)}^2$$ $$100-x^2=900-(900-60x+x^2)\Rightarrow 100=60x\Rightarrow x=\frac{5}{3}$$ $$h^2=100-{\left(\frac{5}{3}\right)}^2=\frac{875}{9}\Rightarrow h=\frac{5\sqrt{35}}{3}$$

Радиус окружностей $r=\frac{h}{2}=\frac{5\sqrt{35}}{6}\text{.}$

Центр $O_1$ лежит на биссектрисе угла $A\text{.}$ Пусть $P_1$ — проекция $O_1$ на $AD\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $A{O}_1{P}_1\text{:}$

$$A{P}_1=\frac{r}{\mathrm{tg}(A/2)}$$

Из $△AB{H}_1\text{:}$ $\cos A=\frac{x}{AB}=\frac{5/3}{10}=\frac{1}{6}\text{.}$ Тогда $\mathrm{tg}\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}=\sqrt{\frac{1-1/6}{1+1/6}}=\sqrt{\frac{5}{7}}\text{.}$

$$A{P}_1=\frac{5\sqrt{35}}{6}\cdot \sqrt{\frac{7}{5}}=\frac{5\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{7}}{6\sqrt{5}}=\frac{35}{6}$$

Аналогично, $O_2$ лежит на биссектрисе угла $D\text{.}$ Пусть $P_2$ — проекция $O_2$ на $AD\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $D{O}_2{P}_2\text{:}$

$$D{P}_2=\frac{r}{\mathrm{tg}(D/2)}$$

Из $△CD{H}_2\text{:}$ $\cos D=\frac{30-x}{30}=\frac{85/3}{30}=\frac{17}{18}\text{.}$ Тогда $\mathrm{tg}\frac{D}{2}=\sqrt{\frac{1-17/18}{1+17/18}}=\sqrt{\frac{1/18}{35/18}}=\frac{1}{\sqrt{35}}\text{.}$

$$D{P}_2=\frac{5\sqrt{35}}{6}\cdot \sqrt{35}=\frac{175}{6}$$

Расстояние $O_1{O}_2$ равно расстоянию между проекциями центров на прямую $AD\text{.}$ Так как $A{P}_1+D{P}_2=\frac{35+175}{6}=35\text{,}$ а длина $AD=39\text{,}$ то:

$$O_1{O}_2=AD-(A{P}_1+D{P}_2)=39-35=4$$

Ответ: 4