Окружность с центром O_1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD . Окружность с центром O_2 касается сторон BC , CD и AD . Известно, что AB = 10 , BC = 9 , CD = 30 , AD = 39 . а) Докажите, что прямая O_1O_2 параллельна основаниям трапеции ABCD . б) Найдите O_1O_2 .

а) Окружность, касающаяся двух параллельных прямых, имеет диаметр, равный расстоянию между этими прямыми. Следовательно, радиусы обеих окружностей равны r_1 = r_2 = (h)/(2) , где h — высота трапеции. Центры O_1 и O_2 находятся на одинаковом расстоянии (h)/(2) от основания AD , следовательно, прямая O_1O_2 параллельна основаниям AD и BC . б) Пусть H_1 и H_2 — проекции точек B и C на основание AD . Тогда H_1H_2 = BC = 9 . Пусть AH_1 = x , тогда H_2D = AD - BC - x = 39 - 9 - x = 30 - x . Из прямоугольных треугольников ABH_1 и CDH_2 по теореме Пифагора: h^2 = AB^2 - AH_1^2 = CD^2 - H_2D^2 100 - x^2 = 900 - (30 - x)^2 100 - x^2 = 900 - (900 - 60x + x^2) => 100 = 60x => x = (5)/(3) h^2 = 100 - ( (5)/(3) )^2 = (875)/(9) => h = (5sqrt(35))/(3) Радиус окружностей r = (h)/(2) = (5sqrt(35))/(6) . Центр O_1 лежит на биссектрисе угла A . Пусть P_1 — проекция O_1 на AD . В прямоугольном треугольнике AO_1P_1 : AP_1 = (r)/(tg(A/2)) Из ABH_1 : cos A = (x)/(AB) = (5/3)/(10) = (1)/(6) . Тогда tg (A)/(2) = sqrt((1 - cos A)/(1 + cos A)) = sqrt((1 - 1/6)/(1 + 1/6)) = sqrt((5)/(7)) . AP_1 = (5sqrt(35))/(6) * sqrt((7)/(5)) = (5 * sqrt(5) * sqrt(7) * sqrt(7))/(6sqrt(5)) = (35)/(6) Аналогично, O_2 лежит на биссектрисе угла D . Пусть P_2 — проекция O_2 на AD . В прямоугольном треугольнике DO_2P_2 : DP_2 = (r)/(tg(D/2)) Из CDH_2 : cos D = (30 - x)/(30) = (85/3)/(30) = (17)/(18) . Тогда tg (D)/(2) = sqrt((1 - 17/18)/(1 + 17/18)) = sqrt((1/18)/(35/18)) = (1)/(sqrt(35)) . DP_2 = (5sqrt(35))/(6) * sqrt(35) = (175)/(6) Расстояние O_1O_2 равно расстоянию между проекциями центров на прямую AD . Так как AP_1 + DP_2 = (35 + 175)/(6) = 35 , а длина AD = 39 , то: O_1O_2 = AD - (AP_1 + DP_2) = 39 - 35 = 4 Ответ: 4

а) доказано б) 4