Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD , пересекает его диагональ AC в точке M , а диагональ BD в точке N , причём AM:MC = 1:2 , BN:ND = 1:3 . а) Докажите, что cos BAD = (1)/(5) . б) Найдите площадь ромба, если MN = 5 .
а) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке пересечения диагоналей ромба, направив оси по диагоналям. Пусть вершины имеют координаты: A(-p,0) , C(p,0) , B(0,q) , D(0,-q) , где p>0 , q>0 . Сторона ромба равна a = sqrt(p^2+q^2) . Угол BAD : cos BAD = (p^2 - q^2)/(p^2+q^2) . Прямая, перпендикулярная стороне BC . Вектор BC = (p, -q) , угловой коэффициент прямой BC равен -(q)/(p) , поэтому перпендикулярная прямая имеет угловой коэффициент (p)/(q) . Её уравнение: y = (p)/(q)x + t . Находим точки пересечения: с диагональю AC (ось абсцисс): при y=0 получаем x = -(tq)/(p) , значит M(-(tq)/(p), 0) ; с диагональю BD (ось ординат): при x=0 получаем y = t , значит N(0, t) . Используем данные отношения: 1) AM:MC = 1:2 . Точки A(-p,0) и C(p,0) , M лежит между ними. Длина AM = x_M - (-p) = x_M + p . Из пропорции (x_M+p):(p-x_M)=1:2 получаем 2(x_M+p)=p-x_M , откуда x_M = -(p)/(3) . Следовательно, -(tq)/(p) = -(p)/(3) , т.е. t = (p^2)/(3q) . 2) BN:ND = 1:3 . Точки B(0,q) и D(0,-q) , N лежит между ними. Длина BN = q - t . Из пропорции (q-t):(q+t)=1:3 получаем 3(q-t)=q+t , откуда t = (q)/(2) . Приравнивая выражения для t , имеем (p^2)/(3q) = (q)/(2) , откуда 2p^2 = 3q^2 или (p^2)/(q^2) = (3)/(2) . Тогда cos BAD = (p^2 - q^2)/(p^2+q^2) = (p^2q^2 - 1)/(p^2q^2 + 1) = (32 - 1)/(32 + 1) = (12)/(52) = (1)/(5). Доказательство завершено. б) По условию MN = 5 . Координаты точек: M(-(p)/(3), 0) , N(0, (q)/(2)) . Тогда MN^2 = ((p)/(3))^2 + ((q)/(2))^2 = (p^2)/(9) + (q^2)/(4). Подставляя p^2 = (3)/(2)q^2 , получаем: MN^2 = (3q^2)/(2* 9) + (q^2)/(4) = (q^2)/(6) + (q^2)/(4) = q^2((2)/(12) + (3)/(12)) = (5q^2)/(12). Отсюда MN = qsqrt((5)/(12)) = (qsqrt(15))/(6) . Учитывая, что MN = 5 , находим: (qsqrt(15))/(6) = 5 => q = (30)/(sqrt(15)) = 2sqrt(15). Тогда p^2 = (3)/(2)q^2 = (3)/(2)* 60 = 90 , откуда p = 3sqrt(10) . Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: S = (1)/(2)* AC* BD = (1)/(2)* (2p) * (2q) = 2pq = 2* 3sqrt(10)* 2sqrt(15) = 12sqrt(150) = 12* 5sqrt(6) = 60sqrt(6). Ответ: 60sqrt(6) .
\(60\sqrt{6}\)