Задача №15323

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD\text{,}$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M\text{,}$ а диагональ $BD$ в точке $N\text{,}$ причём $AM:MC=1:2\text{,}$ $BN:ND=1:3\text{.}$
а) Докажите, что $\cos \angle BAD=\frac{1}{5}\text{.}$

б) Найдите площадь ромба, если $MN=5\text{.}$

а) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке пересечения диагоналей ромба, направив оси по диагоналям. Пусть вершины имеют координаты: $A(-p,0)\text{,}$ $C(p,0)\text{,}$ $B(0,q)\text{,}$ $D(0,-q)\text{,}$ где $p>0\text{,}$ $q>0\text{.}$ Сторона ромба равна $a=\sqrt{p^2+q^2}\text{.}$

Угол $\angle BAD\text{:}$ $\cos \angle BAD=\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2}\text{.}$

Прямая, перпендикулярная стороне $BC\text{.}$ Вектор $\overrightarrow{BC}=(p,-q)\text{,}$ угловой коэффициент прямой $BC$ равен $-\frac{q}{p}\text{,}$ поэтому перпендикулярная прямая имеет угловой коэффициент $\frac{p}{q}\text{.}$ Её уравнение: $y=\frac{p}{q}x+t\text{.}$

Находим точки пересечения:

• с диагональю $AC$ (ось абсцисс): при $y=0$ получаем $x=-\frac{tq}{p}\text{,}$ значит $M\left(-\frac{tq}{p},0\right)\text{;}$
• с диагональю $BD$ (ось ординат): при $x=0$ получаем $y=t\text{,}$ значит $N(0,t)\text{.}$

Используем данные отношения:
1) $AM:MC=1:2\text{.}$ Точки $A(-p,0)$ и $C(p,0)\text{,}$ $M$ лежит между ними. Длина $AM=x_M-(-p)=x_M+p\text{.}$ Из пропорции $(x_M+p):(p-x_M)=1:2$ получаем $2(x_M+p)=p-x_M\text{,}$ откуда $x_M=-\frac{p}{3}\text{.}$ Следовательно, $-\frac{tq}{p}=-\frac{p}{3}\text{,}$ т.е. $t=\frac{p^2}{3q}\text{.}$

2) $BN:ND=1:3\text{.}$ Точки $B(0,q)$ и $D(0,-q)\text{,}$ $N$ лежит между ними. Длина $BN=q-t\text{.}$ Из пропорции $(q-t):(q+t)=1:3$ получаем $3(q-t)=q+t\text{,}$ откуда $t=\frac{q}{2}\text{.}$

Приравнивая выражения для $t\text{,}$ имеем $\frac{p^2}{3q}=\frac{q}{2}\text{,}$ откуда $2p^2=3q^2$ или $\frac{p^2}{q^2}=\frac{3}{2}\text{.}$

Тогда

$$\cos \angle BAD=\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2}=\frac{\frac{p^2}{q^2}-1}{\frac{p^2}{q^2}+1}=\frac{\frac{3}{2}-1}{\frac{3}{2}+1}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}}=\frac{1}{5}.$$

Доказательство завершено.

б) По условию $MN=5\text{.}$ Координаты точек: $M\left(-\frac{p}{3},0\right)\text{,}$ $N\left(0,\frac{q}{2}\right)\text{.}$ Тогда

$$M{N}^2={\left(\frac{p}{3}\right)}^2+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2=\frac{p^2}{9}+\frac{q^2}{4}.$$

Подставляя $p^2=\frac{3}{2}{q}^2\text{,}$ получаем:

$$M{N}^2=\frac{3q^2}{2\cdot 9}+\frac{q^2}{4}=\frac{q^2}{6}+\frac{q^2}{4}=q^2\left(\frac{2}{12}+\frac{3}{12}\right)=\frac{5q^2}{12}.$$

Отсюда $MN=q\sqrt{\frac{5}{12}}=\frac{q\sqrt{15}}{6}\text{.}$

Учитывая, что $MN=5\text{,}$ находим:

$$\frac{q\sqrt{15}}{6}=5\Rightarrow q=\frac{30}{\sqrt{15}}=2\sqrt{15}.$$

Тогда $p^2=\frac{3}{2}{q}^2=\frac{3}{2}\cdot 60=90\text{,}$ откуда $p=3\sqrt{10}\text{.}$

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot (2p)\cdot (2q)=2pq=2\cdot 3\sqrt{10}\cdot 2\sqrt{15}=12\sqrt{150}=12\cdot 5\sqrt{6}=60\sqrt{6}.$$

Ответ: $60\sqrt{6}\text{.}$