Задача №15322

На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $M$ такая, что $AM=MC\text{.}$

а) Докажите, что центр вписанной в треугольник $AMD$ окружности лежит на диагонали $AC\text{.}$

б) Найдите радиус вписанной в треугольник $AMD$ окружности, если $AB=5\text{,}$ $BC=10\text{,}$ $\angle BAD=60^{\circ }\text{.}$

а) Докажем, что центр вписанной окружности треугольника $AMD$ лежит на диагонали $AC\text{.}$

По условию $AM=MC\text{,}$ следовательно, треугольник $AMC$ равнобедренный с основанием $AC\text{,}$ поэтому

$$\angle MAC=\angle MCA.$$

В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны, поэтому накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны:

$$\angle MCA=\angle CAD.$$

Таким образом,

$$\angle MAC=\angle CAD,$$

значит, луч $AC$ является биссектрисой угла $MAD$ треугольника $AMD\text{.}$ Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении его биссектрис, поэтому он принадлежит биссектрисе $AC\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Найдем радиус вписанной окружности треугольника $AMD$ при $AB=5\text{,}$ $BC=10\text{,}$ $\angle BAD=60^{\circ }\text{.}$

В параллелограмме $ABCD\text{:}$

$$AD=BC=10,AB=5,\angle BAD=60^{\circ }.$$

Высота параллелограмма, опущенная из вершины $B$ на сторону $AD\text{,}$ равна

$$h=AB\cdot \sin 60^{\circ }=5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}.$$

Площадь параллелограмма:

$$S_{\text{пар}}=AD\cdot h=10\cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}.$$

Треугольник $AMD$ и параллелограмм имеют общую сторону $AD$ и общую высоту к этой стороне (расстояние от точки $M$ на $BC$ до прямой $AD$ равно $h$). Следовательно,

$$S_{△AMD}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{2}.$$

Пусть $AM=MC=x\text{.}$ Тогда $BM=BC-MC=10-x\text{.}$ В треугольнике $ABM$ известны стороны $AB=5\text{,}$ $BM=10-x\text{,}$ $AM=x$ и угол $\angle ABM=180^{\circ }-\angle BAD=120^{\circ }$ (смежные углы параллелограмма). По теореме косинусов:

$$A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2\cdot AB\cdot BM\cdot \cos 120^{\circ },$$

где $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}\text{.}$ Подставляем:

$$x^2=5^2+(10-x{)}^2-2\cdot 5\cdot (10-x)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right).$$

Упрощаем:

$$x^2=25+100-20x+x^2+5(10-x),$$ $$x^2=125-20x+x^2+50-5x,$$ $$x^2=175-25x+x^2.$$

Сокращая $x^2\text{,}$ получаем $25x=175\text{,}$ откуда $x=7\text{.}$ Таким образом, $AM=7\text{.}$

Найдем сторону $MD\text{.}$ В треугольнике $CMD\text{:}$ $CD=AB=5\text{,}$ $CM=7\text{,}$ угол $\angle MCD=\angle BAD=60^{\circ }$ (противоположные углы параллелограмма). По теореме косинусов:

$$M{D}^2=C{M}^2+C{D}^2-2\cdot CM\cdot CD\cdot \cos 60^{\circ }=7^2+5^2-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=49+25-35=39,$$

поэтому $MD=\sqrt{39}\text{.}$

Полупериметр треугольника $AMD\text{:}$

$$p=\frac{AD+AM+MD}{2}=\frac{10+7+\sqrt{39}}{2}=\frac{17+\sqrt{39}}{2}.$$

Радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{S_{△AMD}}{p}=\frac{\frac{25\sqrt{3}}{2}}{\frac{17+\sqrt{39}}{2}}=\frac{25\sqrt{3}}{17+\sqrt{39}}.$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $17-\sqrt{39}\text{:}$

$$r=\frac{25\sqrt{3}(17-\sqrt{39})}{(17{)}^2-(\sqrt{39}{)}^2}=\frac{25\sqrt{3}(17-\sqrt{39})}{289-39}=\frac{25\sqrt{3}(17-\sqrt{39})}{250}=\frac{\sqrt{3}(17-\sqrt{39})}{10}.$$

Ответ:

а) Центр вписанной окружности треугольника $AMD$ лежит на диагонали $AC\text{.}$

б) $r=\frac{\sqrt{3}(17-\sqrt{39})}{10}\text{.}$