На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC. б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB = 5, BC = 10, BAD = 60^.

а) Докажем, что центр вписанной окружности треугольника AMD лежит на диагонали AC. По условию AM = MC, следовательно, треугольник AMC равнобедренный с основанием AC, поэтому MAC = MCA. В параллелограмме ABCD стороны AD и BC параллельны, поэтому накрест лежащие углы при секущей AC равны: MCA = CAD. Таким образом, MAC = CAD, значит, луч AC является биссектрисой угла MAD треугольника AMD. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении его биссектрис, поэтому он принадлежит биссектрисе AC, что и требовалось доказать. б) Найдем радиус вписанной окружности треугольника AMD при AB = 5, BC = 10, BAD = 60^. В параллелограмме ABCD: AD = BC = 10, AB = 5, BAD = 60^. Высота параллелограмма, опущенная из вершины B на сторону AD, равна h = AB*sin 60^ = 5*(sqrt(3))/(2) = (5sqrt(3))/(2). Площадь параллелограмма: S_(пар) = AD* h = 10*(5sqrt(3))/(2) = 25sqrt(3). Треугольник AMD и параллелограмм имеют общую сторону AD и общую высоту к этой стороне (расстояние от точки M на BC до прямой AD равно h). Следовательно, S_( AMD) = (1)/(2)* AD* h = (1)/(2)* 10*(5sqrt(3))/(2) = (25sqrt(3))/(2). Пусть AM = MC = x. Тогда BM = BC - MC = 10 - x. В треугольнике ABM известны стороны AB = 5, BM = 10 - x, AM = x и угол ABM = 180^ - BAD = 120^ (смежные углы параллелограмма). По теореме косинусов: AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2* AB* BM*cos 120^, где cos 120^ = -(1)/(2). Подставляем: x^2 = 5^2 + (10 - x)^2 - 2* 5* (10 - x) *(-(1)/(2)). Упрощаем: x^2 = 25 + 100 - 20x + x^2 + 5(10 - x), x^2 = 125 - 20x + x^2 + 50 - 5x, x^2 = 175 - 25x + x^2. Сокращая x^2, получаем 25x = 175, откуда x = 7. Таким образом, AM = 7. Найдем сторону MD. В треугольнике CMD: CD = AB = 5, CM = 7, угол MCD = BAD = 60^ (противоположные углы параллелограмма). По теореме косинусов: MD^2 = CM^2 + CD^2 - 2* CM* CD*cos 60^ = 7^2 + 5^2 - 2* 7* 5*(1)/(2) = 49 + 25 - 35 = 39, поэтому MD = sqrt(39). Полупериметр треугольника AMD: p = (AD + AM + MD)/(2) = (10 + 7 + sqrt(39))/(2) = (17 + sqrt(39))/(2). Радиус вписанной окружности: r = (S_( AMD))/(p) = (25sqrt(3)2)/(17 + sqrt(39)2) = (25sqrt(3))/(17 + sqrt(39)). Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение 17 - sqrt(39): r = (25sqrt(3)(17 - sqrt(39)))/((17)^2 - (sqrt(39))^2) = (25sqrt(3)(17 - sqrt(39)))/(289 - 39) = (25sqrt(3)(17 - sqrt(39)))/(250) = (sqrt(3)(17 - sqrt(39)))/(10). Ответ: а) Центр вписанной окружности треугольника AMD лежит на диагонали AC. б) r = (sqrt(3)(17 - sqrt(39)))/(10) .

\( \dfrac{\sqrt{3}(17 - \sqrt{39})}{10} \)