Задача №15321

Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O\text{.}$ На боковых сторонах $AB$ и $CD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM=MO\text{,}$ $CN=NO\text{.}$
а) Докажите, что точки $M\text{,}$ $O$ и $N$ лежат на одной прямой.
б) Найдите отношение $AM:MB\text{,}$ если $AO=CO$ и $BC:AD=17:31\text{.}$

а) Пусть $\angle BAD=2\alpha \text{.}$ Так как $AO$ — биссектриса, то $\angle OAD=\alpha \text{.}$

В $△AMO$ по условию $AM=MO\text{,}$ следовательно, треугольник равнобедренный и $\angle MAO=\angle MOA=\alpha \text{.}$ Углы $\angle MOA$ и $\angle OAD$ равны и являются накрест лежащими при прямых $MO,AD$ и секущей $AO\text{.}$ Из равенства накрест лежащих углов следует, что $MO\parallel AD\text{.}$

Аналогично, пусть $\angle BCD=2\gamma \text{.}$ Так как $CO$ — биссектриса, $\angle BCO=\gamma \text{.}$ Из условия $CN=NO$ следует, что $△CNO$ равнобедренный, поэтому $\angle NCO=\angle NOC=\gamma \text{.}$ Углы $\angle NOC$ и $\angle BCO$ равны и являются накрест лежащими при прямых $NO,BC$ и секущей $CO\text{.}$ Из этого следует, что $NO\parallel BC\text{.}$

Поскольку в трапеции $AD\parallel BC\text{,}$ прямые $MO$ и $NO$ параллельны одной и той же прямой. Так как обе прямые проходят через общую точку $O\text{,}$ они совпадают. Таким образом, точки $M,O$ и $N$ лежат на одной прямой.

б) Пусть $AB=CD=c\text{.}$ Так как прямая $MN$ параллельна основаниям, то по теореме Фалеса она делит боковые стороны в одинаковом отношении. Пусть $\frac{AM}{AB}=t\text{,}$ тогда $\frac{MB}{AB}=1-t\text{.}$ Так как трапеция равнобедренная, то и на другой стороне $\frac{DN}{DC}=t\text{,}$ откуда $\frac{CN}{CD}=1-t\text{.}$

Из условия $AM=MO$ и $CN=NO$ имеем:

Так как точки лежат в порядке $M,O,N\text{,}$ то длина отрезка:

Длина отрезка $MN$ в трапеции выражается через основания и отношение, в котором он делит боковую сторону:

Подставим $AD=31k\text{,}$ $BC=17k$ и приравняем к $c\text{:}$

Пусть $\angle A=2\alpha \text{.}$ В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины $B$ на основание $AD\text{,}$ отсекает отрезок $\frac{AD-BC}{2}=7k\text{.}$ Тогда:

Пусть $H$ — высота трапеции. Точка $O$ лежит на прямой $MN\text{,}$ поэтому её расстояние до $AD$ равно $tH\text{,}$ а до $BC$ равно $(1-t)H\text{.}$ Из прямоугольных треугольников с гипотенузами $AO$ и $CO\text{:}$

Так как $AO=CO\text{,}$ то:

Воспользуемся формулой ${\mathrm{tg}}^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }\text{:}$

Подставим сюда выражение $c=31k-14kt$ из уравнения (1):

Корни уравнения: $t_1=4$ (не подходит, так как $t<1$), $t_2=\frac{3}{7}\text{.}$

Тогда отношение $AM:MB=t:(1-t)=\frac{3}{7}:\frac{4}{7}=3:4\text{.}$

Ответ: 3:4