Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечены точки M и N соответственно так, что AM = MO, CN = NO. а) Докажите, что точки M, O и N лежат на одной прямой. б) Найдите отношение AM : MB, если AO = CO и BC : AD = 17 : 31.

а) Пусть BAD = 2alpha . Так как AO — биссектриса, то OAD = alpha . В AMO по условию AM = MO , следовательно, треугольник равнобедренный и MAO = MOA = alpha . Углы MOA и OAD равны и являются накрест лежащими при прямых MO, AD и секущей AO . Из равенства накрест лежащих углов следует, что MO AD . Аналогично, пусть BCD = 2gamma . Так как CO — биссектриса, BCO = gamma . Из условия CN = NO следует, что CNO равнобедренный, поэтому NCO = NOC = gamma . Углы NOC и BCO равны и являются накрест лежащими при прямых NO, BC и секущей CO . Из этого следует, что NO BC . Поскольку в трапеции AD BC , прямые MO и NO параллельны одной и той же прямой. Так как обе прямые проходят через общую точку O , они совпадают. Таким образом, точки M, O и N лежат на одной прямой. б) Пусть AB = CD = c . Так как прямая MN параллельна основаниям, то по теореме Фалеса она делит боковые стороны в одинаковом отношении. Пусть (AM)/(AB) = t , тогда (MB)/(AB) = 1 - t . Так как трапеция равнобедренная, то и на другой стороне (DN)/(DC) = t , откуда (CN)/(CD) = 1 - t . Из условия AM = MO и CN = NO имеем: MO = tc, NO = (1 - t)c Так как точки лежат в порядке M, O, N , то длина отрезка: MN = MO + ON = tc + (1 - t)c = c Длина отрезка MN в трапеции выражается через основания и отношение, в котором он делит боковую сторону: MN = (1 - t)AD + tBC Подставим AD = 31k , BC = 17k и приравняем к c : c = 31k(1 - t) + 17kt = 31k - 14kt 1 Пусть A = 2alpha . В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины B на основание AD , отсекает отрезок (AD - BC)/(2) = 7k . Тогда: cos 2alpha = (7k)/(c) Пусть H — высота трапеции. Точка O лежит на прямой MN , поэтому её расстояние до AD равно tH , а до BC равно (1 - t)H . Из прямоугольных треугольников с гипотенузами AO и CO : AO = (tH)/(), CO = ((1 - t)H)/(sin(90^ - alpha)) = ((1 - t)H)/() Так как AO = CO , то: (t)/() = (1 - t)/() => = (t)/(1 - t) Воспользуемся формулой tg^2alpha = (1 - cos 2alpha)/(1 + cos 2alpha) : ( (t)/(1 - t) )^2 = (1 - 7k/c)/(1 + 7k/c) = (c - 7k)/(c + 7k) Подставим сюда выражение c = 31k - 14kt из уравнения (1): (t^2)/((1 - t)^2) = (31k - 14kt - 7k)/(31k - 14kt + 7k) = (24 - 14t)/(38 - 14t) = (12 - 7t)/(19 - 7t) t^2(19 - 7t) = (12 - 7t)(1 - 2t + t^2) 19t^2 - 7t^3 = 12 - 24t + 12t^2 - 7t + 14t^2 - 7t^3 7t^2 - 31t + 12 = 0 Корни уравнения: t_1 = 4 (не подходит, так как t < 1 ), t_2 = (3)/(7) . Тогда отношение AM : MB = t : (1 - t) = (3)/(7) : (4)/(7) = 3:4 . Ответ: 3:4

а) доказано б) 3:4