Задача №15320

На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M\text{.}$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $K$ соответственно.

а) Докажите, что $\angle AEM=\angle CMK\text{.}$

б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK\text{,}$ если $AM:MC=1:4\text{.}$

Дано: равносторонний треугольник $ABC\text{,}$ точка $M$ на стороне $AC\text{.}$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $K$ соответственно.
а) Докажите, что $\angle AEM=\angle CMK\text{.}$

б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK\text{,}$ если $AM:MC=1:4\text{.}$

Решение.
а) Так как $EK$ — серединный перпендикуляр к $BM\text{,}$ для любой точки на $EK$ выполняется равенство расстояний до концов отрезка $BM\text{.}$ Поэтому

$$EB=EM,KB=KM.$$

Рассмотрим симметрию относительно прямой $EK\text{.}$ При этой симметрии точка $B$ отображается в точку $M\text{,}$ а точка $M$ — в $B\text{.}$ Угол $EBK$ (равный углу $B$ треугольника $ABC$) отображается в угол $EMK\text{.}$ Симметрия сохраняет углы, значит

$$\angle EMK=\angle EBK=60^{\circ }.$$

Пусть $\angle AEM=\alpha \text{.}$ Так как точки $A\text{,}$ $E\text{,}$ $B$ лежат на одной прямой,

$$\angle BEM=180^{\circ }-\alpha .$$

В равнобедренном треугольнике $BEM$ (с основанием $BM$) углы при основании равны:

$$\angle EBM=\angle EMB=\frac{180^{\circ }-(180^{\circ }-\alpha )}{2}=\frac{\alpha }{2}.$$

В треугольнике $ABC$ угол $B=60^{\circ }\text{,}$ поэтому

$$\angle MBK=\angle EBK-\angle EBM=60^{\circ }-\frac{\alpha }{2}.$$

В равнобедренном треугольнике $BMK$ (с основанием $BM$) углы при основании равны:

$$\angle KMB=\angle MBK=60^{\circ }-\frac{\alpha }{2}.$$

Найдём угол $BKM$ в треугольнике $BMK\text{:}$

$$\angle BKM=180^{\circ }-2\left(60^{\circ }-\frac{\alpha }{2}\right)=60^{\circ }+\alpha .$$

Точки $B\text{,}$ $K\text{,}$ $C$ лежат на одной прямой, поэтому

$$\angle CKM=180^{\circ }-\angle BKM=120^{\circ }-\alpha .$$

В треугольнике $CMK$ сумма углов равна $180^{\circ }\text{,}$ а $\angle C=60^{\circ }\text{.}$ Следовательно,

$$\angle CMK=180^{\circ }-\angle C-\angle CKM=180^{\circ }-60^{\circ }-(120^{\circ }-\alpha )=\alpha .$$

Таким образом, $\angle CMK=\alpha =\angle AEM\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Пусть $AM=t\text{,}$ тогда $MC=4t\text{.}$ Так как треугольник $ABC$ равносторонний,

$$AB=BC=AC=5t.$$

Обозначим $AE=y\text{.}$ Тогда $EB=AB-AE=5t-y\text{,}$ и из равенства $EB=EM$ имеем $EM=5t-y\text{.}$

В треугольнике $AEM$ известны стороны $AE=y\text{,}$ $AM=t\text{,}$ $EM=5t-y$ и угол $A=60^{\circ }\text{.}$ Применим теорему косинусов:

$$E{M}^2=A{E}^2+A{M}^2-2\cdot AE\cdot AM\cdot \cos 60^{\circ }.$$

Подставляем:

$$(5t-y{)}^2=y^2+t^2-2\cdot y\cdot t\cdot \frac{1}{2}.$$

Упрощаем:

$$25t^2-10ty+y^2=y^2+t^2-ty,$$ $$25t^2-10ty=t^2-ty,$$ $$24t^2-9ty=0,$$ $$3t(8t-3y)=0.$$

Так как $t\ne 0\text{,}$ получаем $8t-3y=0\text{,}$ откуда

$$y=\frac{8}{3}t.$$

Из пункта (а) следует, что треугольники $AEM$ и $CMK$ подобны по двум углам:
$\angle A=\angle C=60^{\circ }\text{,}$ $\angle AEM=\angle CMK\text{.}$ Соответствие вершин: $A\leftrightarrow C\text{,}$ $E\leftrightarrow M\text{,}$ $M\leftrightarrow K\text{.}$ Поэтому отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k\text{:}$

$$k=\frac{AE}{CM}=\frac{\frac{8}{3}t}{4t}=\frac{2}{3}.$$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{AEM}}{S_{CMK}}=k^2={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}.$$

Таким образом, искомое отношение площадей равно $4:9\text{.}$

Ответ: $4:9$