На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно. а) Докажите, что AEM = CMK. б) Найдите отношение площадей треугольников AEM и CMK, если AM:MC = 1:4.

Дано: равносторонний треугольник ABC, точка M на стороне AC. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно. а) Докажите, что AEM = CMK. б) Найдите отношение площадей треугольников AEM и CMK, если AM:MC = 1:4. Решение. а) Так как EK — серединный перпендикуляр к BM, для любой точки на EK выполняется равенство расстояний до концов отрезка BM. Поэтому EB = EM, KB = KM. Рассмотрим симметрию относительно прямой EK. При этой симметрии точка B отображается в точку M, а точка M — в B. Угол EBK (равный углу B треугольника ABC) отображается в угол EMK. Симметрия сохраняет углы, значит EMK = EBK = 60^. Пусть AEM = alpha. Так как точки A, E, B лежат на одной прямой, BEM = 180^ - alpha. В равнобедренном треугольнике BEM (с основанием BM) углы при основании равны: EBM = EMB = (180^ - (180^ - alpha))/(2) = (alpha)/(2). В треугольнике ABC угол B = 60^, поэтому MBK = EBK - EBM = 60^ - (alpha)/(2). В равнобедренном треугольнике BMK (с основанием BM) углы при основании равны: KMB = MBK = 60^ - (alpha)/(2). Найдём угол BKM в треугольнике BMK: BKM = 180^ - 2(60^ - (alpha)/(2)) = 60^ + alpha. Точки B, K, C лежат на одной прямой, поэтому CKM = 180^ - BKM = 120^ - alpha. В треугольнике CMK сумма углов равна 180^, а C = 60^. Следовательно, CMK = 180^ - C - CKM = 180^ - 60^ - (120^ - alpha) = alpha. Таким образом, CMK = alpha = AEM, что и требовалось доказать. б) Пусть AM = t, тогда MC = 4t. Так как треугольник ABC равносторонний, AB = BC = AC = 5t. Обозначим AE = y. Тогда EB = AB - AE = 5t - y, и из равенства EB = EM имеем EM = 5t - y. В треугольнике AEM известны стороны AE = y, AM = t, EM = 5t - y и угол A = 60^. Применим теорему косинусов: EM^2 = AE^2 + AM^2 - 2* AE* AM*cos 60^. Подставляем: (5t - y)^2 = y^2 + t^2 - 2* y* t*(1)/(2). Упрощаем: 25t^2 - 10ty + y^2 = y^2 + t^2 - ty, 25t^2 - 10ty = t^2 - ty, 24t^2 - 9ty = 0, 3t(8t - 3y) = 0. Так как t!= 0, получаем 8t - 3y = 0, откуда y = (8)/(3)t. Из пункта (а) следует, что треугольники AEM и CMK подобны по двум углам: A = C = 60^, AEM = CMK. Соответствие вершин: A C, E M, M K. Поэтому отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия k: k = (AE)/(CM) = (83t)/(4t) = (2)/(3). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: (S_(AEM))/(S_(CMK)) = k^2 = ((2)/(3))^2 = (4)/(9). Таким образом, искомое отношение площадей равно 4:9. Ответ: 4:9

4:9