На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно. а) Докажите, что треугольники AEM и CMK подобны. б) Найдите отношение AM:MC, если площади треугольников AEM и CMK равны 4 и 9 соответственно.

а) Пусть серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает AB в точке E , а BC в точке K . По свойству серединного перпендикуляра точки E и K равноудалены от концов отрезка BM , следовательно, EB = EM и KB = KM . Пусть EBM = . Так как треугольник EBM равнобедренный, EMB = . Угол AEM — внешний угол треугольника EBM при вершине E , поэтому AEM = EBM + EMB = 2 . Пусть KBM = . Так как треугольник KBM равнобедренный, KMB = . Угол CKM — внешний угол треугольника KBM при вершине K , поэтому CKM = KBM + KMB = 2 . Так как треугольник ABC равносторонний, ABC = 60^ , следовательно, + = 60^ . В треугольнике AEM : AME = 180^ - A - AEM = 180^ - 60^ - 2 = 120^ - 2 = 2(60^ - ) = 2 В треугольнике CMK : CMK = 180^ - C - CKM = 180^ - 60^ - 2 = 120^ - 2 = 2(60^ - ) = 2 Таким образом, в треугольниках AEM и CMK : 1) A = C = 60^ 2) AEM = CMK = 2 Следовательно, AEM CMK по двум углам, что и требовалось доказать. б) Из подобия треугольников AEM и CMK следует, что отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия k : k^2 = (S_(AEM))/(S_(CMK)) = (4)/(9)=> k = (2)/(3) Учитывая соответствие вершин ( A C , E M , M K ), имеем: k = (AE)/(CM) = (AM)/(CK) = (EM)/(MK) = (2)/(3) Пусть AM = x , MC = y . Тогда сторона треугольника ABC равна a = x + y . Из подобия следует, что AE = (2)/(3)CM = (2)/(3)y . Тогда EB = AB - AE = (x + y) - (2)/(3)y = x + (1)/(3)y . В треугольнике AEM по теореме косинусов: EM^2 = AE^2 + AM^2 - 2* AE* AM* cos 60^ = ((2)/(3)y)^2 + x^2 - 2* (2)/(3)y* x* (1)/(2) = (4)/(9)y^2 + x^2 - (2)/(3)xy Так как EM = EB , то EM^2 = EB^2 : (4)/(9)y^2 + x^2 - (2)/(3)xy = (x + (1)/(3)y)^2 (4)/(9)y^2 + x^2 - (2)/(3)xy = x^2 + (2)/(3)xy + (1)/(9)y^2 (3)/(9)y^2 = (4)/(3)xy=> (1)/(3)y^2 = (4)/(3)xy Поскольку y!= 0 , делим на (1)/(3)y : y = 4x=> (x)/(y) = (1)/(4) Следовательно, AM : MC = 1 : 4 .

а) доказано б) 1:4