Задача №15319

На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M\text{.}$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $K$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $AEM$ и $CMK$ подобны.

б) Найдите отношение $AM:MC\text{,}$ если площади треугольников $AEM$ и $CMK$ равны 4 и 9 соответственно.

а) Пусть серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает $AB$ в точке $E\text{,}$ а $BC$ в точке $K\text{.}$ По свойству серединного перпендикуляра точки $E$ и $K$ равноудалены от концов отрезка $BM\text{,}$ следовательно, $EB=EM$ и $KB=KM\text{.}$

Пусть $\angle EBM=\phi \text{.}$ Так как треугольник $EBM$ равнобедренный, $\angle EMB=\phi \text{.}$ Угол $\angle AEM$ — внешний угол треугольника $EBM$ при вершине $E\text{,}$ поэтому $\angle AEM=\angle EBM+\angle EMB=2\phi \text{.}$

Пусть $\angle KBM=\psi \text{.}$ Так как треугольник $KBM$ равнобедренный, $\angle KMB=\psi \text{.}$ Угол $\angle CKM$ — внешний угол треугольника $KBM$ при вершине $K\text{,}$ поэтому $\angle CKM=\angle KBM+\angle KMB=2\psi \text{.}$

Так как треугольник $ABC$ равносторонний, $\angle ABC=60^{\circ }\text{,}$ следовательно, $\phi +\psi =60^{\circ }\text{.}$

В треугольнике $AEM\text{:}$

$$\angle AME=180^{\circ }-\angle A-\angle AEM=180^{\circ }-60^{\circ }-2\phi =120^{\circ }-2\phi =2(60^{\circ }-\phi )=2\psi$$

В треугольнике $CMK\text{:}$

$$\angle CMK=180^{\circ }-\angle C-\angle CKM=180^{\circ }-60^{\circ }-2\psi =120^{\circ }-2\psi =2(60^{\circ }-\psi )=2\phi$$

Таким образом, в треугольниках $AEM$ и $CMK\text{:}$
1) $\angle A=\angle C=60^{\circ }$
2) $\angle AEM=\angle CMK=2\phi$

Следовательно, $△AEM\sim △CMK$ по двум углам, что и требовалось доказать.

б) Из подобия треугольников $AEM$ и $CMK$ следует, что отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия $k\text{:}$

$$k^2=\frac{S_{AEM}}{S_{CMK}}=\frac{4}{9}\Rightarrow k=\frac{2}{3}$$

Учитывая соответствие вершин ($A\leftrightarrow C\text{,}$ $E\leftrightarrow M\text{,}$ $M\leftrightarrow K$), имеем:

$$k=\frac{AE}{CM}=\frac{AM}{CK}=\frac{EM}{MK}=\frac{2}{3}$$

Пусть $AM=x\text{,}$ $MC=y\text{.}$ Тогда сторона треугольника $ABC$ равна $a=x+y\text{.}$ Из подобия следует, что $AE=\frac{2}{3}CM=\frac{2}{3}y\text{.}$

Тогда $EB=AB-AE=(x+y)-\frac{2}{3}y=x+\frac{1}{3}y\text{.}$

В треугольнике $AEM$ по теореме косинусов:

$$E{M}^2=A{E}^2+A{M}^2-2\cdot AE\cdot AM\cdot \cos 60^{\circ }={\left(\frac{2}{3}y\right)}^2+x^2-2\cdot \frac{2}{3}y\cdot x\cdot \frac{1}{2}=\frac{4}{9}{y}^2+x^2-\frac{2}{3}xy$$

Так как $EM=EB\text{,}$ то $E{M}^2=E{B}^2\text{:}$

$$\frac{4}{9}{y}^2+x^2-\frac{2}{3}xy={\left(x+\frac{1}{3}y\right)}^2$$ $$\frac{4}{9}{y}^2+x^2-\frac{2}{3}xy=x^2+\frac{2}{3}xy+\frac{1}{9}{y}^2$$ $$\frac{3}{9}{y}^2=\frac{4}{3}xy\Rightarrow \frac{1}{3}{y}^2=\frac{4}{3}xy$$

Поскольку $y\ne 0\text{,}$ делим на $\frac{1}{3}y\text{:}$

$$y=4x\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{1}{4}$$

Следовательно, $AM:MC=1:4\text{.}$