Задача №15318

Решите неравенство $\frac{1}{3^x+21}+\frac{1}{3^x-27}⩾0\text{.}$

Решим неравенство:

Приведём к общему знаменателю:

Вынесем общий множитель в числителе:

Заметим, что $3^x+21>0$ при всех $x\text{,}$ поэтому знак дроби определяется знаками $3^x-3$ и $3^x-27\text{.}$ Упростим:

Сделаем замену $t=3^x>0\text{:}$

Решаем методом интервалов для $t>0\text{:}$
Числитель: $t=3\text{.}$
Знаменатель: $t=27\text{.}$
Наносим на числовую прямую (только $t>0$):
При $0<t<3\text{:}$ $t-3<0\text{,}$ $t-27<0\text{,}$ дробь положительна.
При $3<t<27\text{:}$ $t-3>0\text{,}$ $t-27<0\text{,}$ дробь отрицательна.
При $t>27\text{:}$ оба положительны, дробь положительна.
Также дробь равна нулю при $t=3$ и не определена при $t=27\text{.}$
Следовательно, $t\in (0;3]\cup (27;+\infty )\text{.}$

Возвращаемся к $x\text{:}$

Так как $3^x>0$ всегда, получаем:
1. $0<3^x⩽3\Rightarrow x⩽1\text{.}$
2. $3^x>27\Rightarrow 3^x>3^3\Rightarrow x>3\text{.}$

Ответ: $x\in (-\infty ;1]\cup (3;+\infty )\text{.}$