Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности. а) Докажите, что A N B = 2 A B C. б) Найдите расстояние от точки N до прямой AB, если известно, что AC = 14 и AB = 36.

а) Так как окружность касается сторон угла ANB в точках A и B, то OA AN и OB BN. Следовательно, O равноудалена от сторон угла, значит, прямая NO — биссектриса угла ANB. Пусть M = ABn NO. Тогда ANM = MNB (так как NM лежит на биссектрис е), а AN = BN (касательные из одной точки к окружности равны). В треугольниках ANM и BNM имеем: - AN = BN, - NM — общая сторона, - ANM = MNB. Значит, ANM BNM (по двум сторонам и углу между ними), откуда AM = BM и AMN = NMB. Эти углы смежные (так как точки A, M, B лежат на одной прямой), значит каждый равен 90^, то есть NM AB. Так как BC — диаметр окружности, то точки B, O, C лежат на одной прямой, следовательно BC BO, и ABC = ABO. Угол ABO — угол между прямыми AB и BO. Так как MN AB и BN BO, то угол между AB и BO равен углу между их перпендикулярами MN и BN, то есть ABO = MNB. Но MN — биссектриса угла ANB, значит MNB = (1)/(2) ANB. Итак, ABC = (1)/(2) ANB=> ANB = 2 ABC. б) Из пункта а) (и построения) NM AB, значит расстояние от точки N до прямой AB равно NM. Так как BC — диаметр окружности, то BAC = 90^, и треугольник ABC прямоугольный (прямой угол при A). Тогда BC = sqrt(AB^2 + AC^2) = sqrt(36^2 + 14^2) = sqrt(1492) = 2sqrt(373). Следовательно, радиус R = BO = sqrt(373). Пусть M — середина AB. Тогда AM=BM=18, а расстояние от центра до хорды AB равно OM = sqrt(R^2 - ((AB)/(2))^2) = sqrt(373 - 18^2) = sqrt(49) = 7. Обозначим NM=h. Тогда в прямоугольном треугольнике ANM: AN^2 = h^2 + 18^2 = h^2 + 324. В прямоугольном треугольнике AON (так как OA AN): AN^2 = NO^2 - R^2. Так как точки N, O, M лежат на одной прямой, имеем NO = h+7 или NO = |h-7|. Подставим оба случая. 1) Если NO=h-7, то AN^2 = (h-7)^2 - 373 = h^2 - 14h + 49 - 373 = h^2 - 14h - 324. Приравнивая h^2 - 14h - 324 = h^2 + 324, получаем -14h=648, что невозможно при h>0. Значит, NO=h+7. Тогда AN^2 = (h+7)^2 - 373 = h^2 + 14h + 49 - 373 = h^2 + 14h - 324. Приравниваем: h^2 + 14h - 324 = h^2 + 324=> 14h = 648=> h = (324)/(7). Ответ: (324)/(7).

\(\dfrac{324}{7}\)