Задача №15317

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B\text{.}$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что $\angle ANB=2\angle ABC\text{.}$

б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB\text{,}$ если известно, что $AC=14$ и $AB=36\text{.}$

а) Так как окружность касается сторон угла $ANB$ в точках $A$ и $B\text{,}$ то $OA\perp AN$ и $OB\perp BN\text{.}$ Следовательно, $O$ равноудалена от сторон угла, значит, прямая $NO$ — биссектриса угла $ANB\text{.}$

Пусть $M=AB\cap NO\text{.}$ Тогда $\angle ANM=\angle MNB$ (так как $NM$ лежит на биссектрис

е), а $AN=BN$ (касательные из одной точки к окружности равны). В треугольниках $ANM$ и $BNM$ имеем:

• $AN=BN\text{,}$
• $NM$ — общая сторона,
• $\angle ANM=\angle MNB\text{.}$

Значит, $△ANM\cong △BNM$ (по двум сторонам и углу между ними), откуда $AM=BM$ и $\angle AMN=\angle NMB\text{.}$ Эти углы смежные (так как точки $A,M,B$ лежат на одной прямой), значит каждый равен $90^{\circ }\text{,}$ то есть $NM\perp AB\text{.}$

Так как $BC$ — диаметр окружности, то точки $B,O,C$ лежат на одной прямой, следовательно $BC\parallel BO\text{,}$ и
$\angle ABC=\angle ABO\text{.}$

Угол $\angle ABO$ — угол между прямыми $AB$ и $BO\text{.}$ Так как $MN\perp AB$ и $BN\perp BO\text{,}$ то угол между $AB$ и $BO$ равен углу между их перпендикулярами $MN$ и $BN\text{,}$ то есть
$\angle ABO=\angle MNB\text{.}$

Но $MN$ — биссектриса угла $ANB\text{,}$ значит
$\angle MNB=\frac{1}{2}\angle ANB\text{.}$

Итак,
$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle ANB\Rightarrow \angle ANB=2\angle ABC\text{.}$

б) Из пункта а) (и построения) $NM\perp AB\text{,}$ значит расстояние от точки $N$ до прямой $AB$ равно $NM\text{.}$

Так как $BC$ — диаметр окружности, то $\angle BAC=90^{\circ }\text{,}$ и треугольник $ABC$ прямоугольный (прямой угол при $A$). Тогда

$$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{36^2+14^2}=\sqrt{1492}=2\sqrt{373}.$$

Следовательно, радиус $R=BO=\sqrt{373}\text{.}$

Пусть $M$ — середина $AB\text{.}$ Тогда $AM=BM=18\text{,}$ а расстояние от центра до хорды $AB$ равно

$$OM=\sqrt{R^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{373-18^2}=\sqrt{49}=7.$$

Обозначим $NM=h\text{.}$ Тогда в прямоугольном треугольнике $ANM\text{:}$

$$A{N}^2=h^2+18^2=h^2+324.$$

В прямоугольном треугольнике $AON$ (так как $OA\perp AN$):

$$A{N}^2=N{O}^2-R^2.$$

Так как точки $N,O,M$ лежат на одной прямой, имеем $NO=h+7$ или $NO=|h-7|\text{.}$ Подставим оба случая.

1) Если $NO=h-7\text{,}$ то

$$A{N}^2=(h-7{)}^2-373=h^2-14h+49-373=h^2-14h-324.$$

Приравнивая $h^2-14h-324=h^2+324\text{,}$ получаем $-14h=648\text{,}$ что невозможно при $h>0\text{.}$

Значит, $NO=h+7\text{.}$ Тогда

$$A{N}^2=(h+7{)}^2-373=h^2+14h+49-373=h^2+14h-324.$$

Приравниваем:

$$h^2+14h-324=h^2+324\Rightarrow 14h=648\Rightarrow h=\frac{324}{7}.$$

Ответ: $\frac{324}{7}\text{.}$