Задача №15314

Решите неравенство

$${\log }_3((2-x)(x^2+5))⩾{\log }_3(x^2-5x+6)+{\log }_3(4-x).$$

Найдём ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}(2-x)(x^2+5)>0,\\ x^2-5x+6>0,\\ 4-x>0.\end{array}$$

Так как $x^2+5>0$ при всех $x\text{,}$ первое неравенство равносильно $2-x>0\iff x<2\text{.}$
Второе: $x^2-5x+6>0\iff (x-2)(x-3)>0\iff x<2\text{ или }x>3\text{.}$
Третье: $4-x>0\iff x<4\text{.}$
Пересечение: $x<2$ и $x<2$ и $x<4$ даёт $x<2\text{.}$

На ОДЗ логарифм по основанию 3 возрастает, поэтому неравенство равносильно:

$$(2-x)(x^2+5)⩾(x^2-5x+6)(4-x).$$

Раскроем скобки:

$$2x^2+10-x^3-5x⩾4x^2-20x+24-x^3+5x^2-6x.$$

Упростим:

$$-x^3+2x^2-5x+10⩾-x^3+9x^2-26x+24.$$

Переносим всё в одну сторону:

$$0⩾7x^2-21x+14\iff 7x^2-21x+14⩽0\iff x^2-3x+2⩽0.$$ $$(x-1)(x-2)⩽0\Rightarrow 1⩽x⩽2.$$

Учитывая ОДЗ $x<2\text{,}$ получаем $1⩽x<2\text{.}$

Ответ: $1⩽x<2\text{.}$