Задача №15313

а) Докажите, что $CO=KO\text{.}$

б) Найдите отношение оснований трапеции $BC$ и $AD\text{,}$ если площадь треугольника $BCK$ составляет $\frac{9}{100}$ площади трапеции $ABCD\text{.}$

а) Проведём прямую $AE$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $L\text{.}$
Так как $E$ — середина $CD$ и $AD\parallel BC\text{,}$ треугольники $AED$ и $LEC$ равны по стороне и двум углам:
$DE=CE\text{,}$ $\angle AED=\angle LEC$ (вертикальны

е), $\angle ADE=\angle LCE$ (накрест лежащи

е).
Следовательно, $AE=EL$ и $AD=LC\text{;}$ значит, $E$ — середина отрезка $AL\text{.}$

В четырёхугольнике $KCLA$ стороны $CK$ и $AL$ параллельны по условию ($CK\parallel AE\text{,}$ а $AL$ содержит $AE$). Таким образом, $KCLA$ — трапеция с основаниями $CK$ и $AL\text{.}$
В этой трапеции точка $B$ — пересечение продолжений боковых сторон $KA$ и $CL$ (поскольку $KA$ лежит на $AB\text{,}$ а $CL$ — на $BC$).
Известное свойство трапеции: прямая, соединяющая точку пересечения продолжений боковых сторон и середину одного основания, делит пополам другое основание.
Так как $E$ — середина основания $AL\text{,}$ прямая $BE$ проходит через середину основания $CK\text{.}$ Поэтому точка $O$ — середина $CK\text{,}$ откуда $CO=KO\text{.}$

б) Обозначим $AD=a\text{,}$ $BC=b\text{.}$ Из равенства треугольников $AED$ и $LEC$ имеем $LC=AD=a\text{.}$
Точка $L$ лежит на прямой $BC\text{;}$ при этом, поскольку из ответа получится $a>b\text{,}$ точка $L$ лежит на продолжении $BC$ за точку $C\text{,}$ и $BL=BC+CL=b+a\text{.}$

Треугольники $KBC$ и $ABL$ подобны по двум углам:

• $\angle B$ — общий;
• $\angle BCK=\angle BLA$ как соответственные при параллельных $CK$ и $AL$ и секущей $BL\text{.}$

Из подобия:

$$\frac{BC}{BL}=\frac{b}{a+b}=\frac{KB}{AB}.$$

Отношение площадей:

$$\frac{S_{△BCK}}{S_{△ABL}}={\left(\frac{b}{a+b}\right)}^2.$$

Пусть $h$ — высота трапеции $ABCD$ (расстояние между основаниями). Тогда

$$S_{ABCD}=\frac{a+b}{2}\cdot h,S_{△ABL}=\frac{1}{2}(a+b)h.$$

Выразим площадь треугольника $BCK\text{:}$

$$S_{△BCK}={\left(\frac{b}{a+b}\right)}^2\cdot S_{△ABL}={\left(\frac{b}{a+b}\right)}^2\cdot \frac{1}{2}(a+b)h=\frac{1}{2}h\cdot \frac{b^2}{a+b}.$$

По условию $S_{△BCK}=\frac{9}{100}{S}_{ABCD}\text{.}$ Подставляем:

$$\frac{1}{2}h\cdot \frac{b^2}{a+b}=\frac{9}{100}\cdot \frac{a+b}{2}h.$$

Сокращая $\frac{1}{2}h\text{,}$ получаем:

$$\frac{b^2}{a+b}=\frac{9}{100}(a+b).$$

Умножаем на $a+b\text{:}$

$$b^2=\frac{9}{100}(a+b{)}^2.$$

Извлекаем квадратный корень (все величины положительны):

$$b=\frac{3}{10}(a+b).$$

Отсюда $10b=3a+3b\text{,}$ или $7b=3a\text{.}$

Ответ: $\frac{BC}{AD}=\frac{b}{a}=\frac{3}{7}\text{.}$