а) Докажите, что CO = KO . б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD , если площадь треугольника BCK составляет (9)/(100) площади трапеции ABCD .
а) Проведём прямую AE до пересечения с прямой BC в точке L. Так как E — середина CD и AD BC, треугольники AED и LEC равны по стороне и двум углам: DE = CE, AED = LEC (вертикальны е), ADE = LCE (накрест лежащи е). Следовательно, AE = EL и AD = LC; значит, E — середина отрезка AL. В четырёхугольнике KCLA стороны CK и AL параллельны по условию (CK AE, а AL содержит AE). Таким образом, KCLA — трапеция с основаниями CK и AL. В этой трапеции точка B — пересечение продолжений боковых сторон KA и CL (поскольку KA лежит на AB, а CL — на BC). Известное свойство трапеции: прямая, соединяющая точку пересечения продолжений боковых сторон и середину одного основания, делит пополам другое основание. Так как E — середина основания AL, прямая BE проходит через середину основания CK. Поэтому точка O — середина CK, откуда CO = KO. б) Обозначим AD = a, BC = b. Из равенства треугольников AED и LEC имеем LC = AD = a. Точка L лежит на прямой BC; при этом, поскольку из ответа получится a > b, точка L лежит на продолжении BC за точку C, и BL = BC + CL = b + a. Треугольники KBC и ABL подобны по двум углам: - B — общий; - BCK = BLA как соответственные при параллельных CK и AL и секущей BL. Из подобия: (BC)/(BL) = (b)/(a+b) = (KB)/(AB). Отношение площадей: (S_( BCK))/(S_( ABL)) = ( (b)/(a+b))^2. Пусть h — высота трапеции ABCD (расстояние между основаниями). Тогда S_(ABCD) = (a+b)/(2)* h, S_( ABL) = (1)/(2) (a+b) h. Выразим площадь треугольника BCK: S_( BCK) = ( (b)/(a+b))^2* S_( ABL) = ( (b)/(a+b))^2*(1)/(2) (a+b) h = (1)/(2) h*(b^2)/(a+b). По условию S_( BCK) = (9)/(100) S_(ABCD). Подставляем: (1)/(2) h*(b^2)/(a+b) = (9)/(100)*(a+b)/(2) h. Сокращая (1)/(2) h, получаем: (b^2)/(a+b) = (9)/(100) (a+b). Умножаем на a+b: b^2 = (9)/(100) (a+b)^2. Извлекаем квадратный корень (все величины положительны): b = (3)/(10) (a+b). Отсюда 10b = 3a + 3b, или 7b = 3a. Ответ: (BC)/(AD) = (b)/(a) = (3)/(7) .
а) доказано
б) 3:7