Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ
Решите неравенство
2⋅8x−1−12⋅8x−1⩾8x−13+64x−5⋅8x+48.Сделаем замену: 8x−1=t>0. Тогда 8x=8⋅8x−1=8t, 64x=(8x)2=64t2. Подставим в неравенство:
2t−12t⩾8t−13+64t2−5⋅8t+48.Упростим знаменатель последней дроби: 64t2−40t+4=4(16t2−10t+1)=4(8t−1)(2t−1) (так как 16t2−10t+1=(8t−1)(2t−1)). Тогда неравенство принимает вид:
2t−12t⩾8t−13+4(8t−1)(2t−1)8=8t−13+(8t−1)(2t−1)2.Перенесём всё в одну часть:
2t−12t−8t−13−(8t−1)(2t−1)2⩾0.Приведём к общему знаменателю (2t−1)(8t−1):
(2t−1)(8t−1)2t(8t−1)−3(2t−1)−2⩾0.Упростим числитель:
16t2−2t−6t+3−2=16t2−8t+1=(4t−1)2.Получаем:
(2t−1)(8t−1)(4t−1)2⩾0.Квадрат всегда неотрицателен, поэтому неравенство равносильно:
{(4t−1)2⩾0(всегда верно, кроме случая, когда знаменатель обращается в ноль)(2t−1)(8t−1)>0или с учётом, что при (4t−1)2=0 дробь равна нулю, но тогда знаменатель не должен быть нулём. Итак, условие: (2t−1)(8t−1)>0, и дополнительно t>0. Решаем неравенство:
(2t−1)(8t−1)>0⇒t<81илиt>21.Учитывая t>0, получаем 0<t<81 или t>21. Возвращаемся к x: t=8x−1.
1. 0<8x−1<81⇒8x−1<8−1⇒x−1<−1⇒x<0.
2. 8x−1>21⇒8x−1>8log8(1/2)=8−1/3⇒x−1>−31⇒x>32.
Также проверим точку, где числитель равен нулю: 4t−1=0⇒t=41. При этом знаменатель: (2⋅41−1)(8⋅41−1)=(−21)(1)=−21=0, поэтому дробь равна нулю, и неравенство выполнено. Тогда 8x−1=41⇒8x−1=8−2/3⇒x−1=−32⇒x=31. Эта точка входит в промежуток x<0? Нет, 31>0, поэтому она не входит в первый промежуток, но она меньше 32, поэтому отдельно её нужно добавить, так как неравенство нестрогое и дробь равна нулю. Проверим, удовлетворяет ли x=31 условию t>0 — да.
Ответ: x<0, x=31, x>32.