Решите неравенство (2* 8^(x-1))/(2* 8^(x-1) - 1)(3)/(8^x - 1) + (8)/(64^x - 5* 8^x + 4).

Сделаем замену: 8^(x-1) = t > 0. Тогда 8^x = 8* 8^(x-1) = 8t, 64^x = (8^x)^2 = 64t^2. Подставим в неравенство: (2t)/(2t - 1) (3)/(8t - 1) + (8)/(64t^2 - 5* 8t + 4). Упростим знаменатель последней дроби: 64t^2 - 40t + 4 = 4(16t^2 - 10t + 1) = 4(8t-1)(2t-1) (так как 16t^2 - 10t + 1 = (8t-1)(2t-1)). Тогда неравенство принимает вид: (2t)/(2t - 1) (3)/(8t - 1) + (8)/(4(8t-1)(2t-1)) = (3)/(8t - 1) + (2)/((8t-1)(2t-1)). Перенесём всё в одну часть: (2t)/(2t - 1) - (3)/(8t - 1) - (2)/((8t-1)(2t-1)) 0. Приведём к общему знаменателю (2t-1)(8t-1): (2t(8t-1) - 3(2t-1) - 2)/((2t-1)(8t-1)) 0. Упростим числитель: 16t^2 - 2t - 6t + 3 - 2 = 16t^2 - 8t + 1 = (4t-1)^2. Получаем: ((4t-1)^2)/((2t-1)(8t-1)) 0. Квадрат всегда неотрицателен, поэтому неравенство равносильно: cases (4t-1)^2 0 (всегда верно, кроме случая, когда знаменатель обращается в ноль) (2t-1)(8t-1) > 0 cases или с учётом, что при (4t-1)^2 = 0 дробь равна нулю, но тогда знаменатель не должен быть нулём. Итак, условие: (2t-1)(8t-1) > 0, и дополнительно t > 0. Решаем неравенство: (2t-1)(8t-1) > 0 => t < (1)/(8) или t > (1)/(2). Учитывая t > 0, получаем 0 < t < (1)/(8) или t > (1)/(2). Возвращаемся к x: t = 8^(x-1). 1. 0 < 8^(x-1) < (1)/(8)=> 8^(x-1) < 8^(-1)=> x-1 < -1=> x < 0. 2. 8^(x-1) > (1)/(2)=> 8^(x-1) > 8^(_8 (1/2)) = 8^(-1/3)=> x-1 > -(1)/(3)=> x > (2)/(3). Также проверим точку, где числитель равен нулю: 4t-1=0=> t=14. При этом знаменатель: (2*14-1)(8*14-1)=(-12)(1)=-12!= 0, поэтому дробь равна нулю, и неравенство выполнено. Тогда 8^(x-1) = 14=> 8^(x-1)=8^(-2/3)=> x-1=-23=> x=13. Эта точка входит в промежуток x<0? Нет, 13 > 0, поэтому она не входит в первый промежуток, но она меньше 23, поэтому отдельно её нужно добавить, так как неравенство нестрогое и дробь равна нулю. Проверим, удовлетворяет ли x=13 условию t>0 — да. Ответ: x < 0 , x = (1)/(3) , x > (2)/(3) .

\((-\infty; 0) \cup\left\{\dfrac13\right\}\cup\left(\dfrac23; +\infty\right)\)