Задача №15308

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O\text{.}$ Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A\text{.}$ Известно, что $\angle MNK=90^{\circ }\text{,}$ $\angle NKL=\angle KLM=120^{\circ }\text{.}$
а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO\text{.}$

б) Найдите длину стороны $MN\text{,}$ если $LA=1\text{.}$

а) Так как $O$ — центр вписанной окружности, он лежит на биссектрисах внутренних углов четырёхугольника. В частности, $LO$ — биссектриса угла $KLM\text{,}$ поэтому

$$\angle OLM=\frac{1}{2}\angle KLM=60^{\circ }.$$

Рассмотрим прямые $KN$ и $LO$ и секущую $KL\text{.}$ По условию $\angle NKL=120^{\circ }\text{,}$ а $\angle KLO=60^{\circ }\text{.}$ Сумма этих односторонних углов равна $180^{\circ }\text{,}$ следовательно,

$$KN\parallel LO.$$

Из условия $\angle MNK=90^{\circ }$ получаем $KN\perp MN\text{,}$ тогда из параллельности $LO\perp MN\text{.}$ С другой стороны, $OA$ — радиус, проведённый в точку касания, поэтому $OA\perp MN\text{.}$ Через точку $O$ можно провести только одну прямую, перпендикулярную $MN\text{,}$ значит, прямые $LO$ и $OA$ совпадают. Таким образом, точки $L\text{,}$ $O\text{,}$ $A$ лежат на одной прямой.

б)
1. Найдём угол $LMN\text{:}$

$$\angle LMN=360^{\circ }-(\angle MNK+\angle NKL+\angle KLM)=360^{\circ }-(90^{\circ }+120^{\circ }+120^{\circ })=30^{\circ }.$$

2. Треугольник $LAM\text{:}$
По доказанному $LA\perp MN\text{,}$ поэтому $\angle LAM=90^{\circ }\text{.}$ Также $\angle ALM=60^{\circ }$ (так как $LA$ лежит на биссектрисе угла $KLM$), значит, $\angle AML=30^{\circ }\text{.}$ В этом прямоугольном треугольнике катет $LA=1$ лежит против угла $30^{\circ }\text{,}$ следовательно,

$$LM=2\cdot LA=2.$$

Тогда второй катет:

$$MA=LM\cdot \cos 30^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$$

3. Радиус вписанной окружности:
Пусть $r=OA\text{.}$ Так как $L\text{,}$ $O\text{,}$ $A$ коллинеарны и $O$ лежит между $L$ и $A\text{,}$ то $LA=LO+OA\text{.}$ В треугольнике $OLH\text{,}$ где $H$ — точка касания на стороне $LM\text{,}$ имеем $\angle OLH=60^{\circ }\text{,}$ $\angle OHM=90^{\circ }\text{,}$ $OH=r\text{,}$ откуда

$$LO=\frac{r}{\sin 60^{\circ }}=\frac{2r}{\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$LA=\frac{2r}{\sqrt{3}}+r=r\left(1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=1\Rightarrow r=\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\sqrt{3}(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}-3.$$

4. Отрезок $AN\text{:}$
Центр $O$ лежит на биссектрисе угла $MNK\text{,}$ поэтому $\angle MNO=45^{\circ }\text{.}$ В треугольнике $ONA\text{:}$ $\angle OAN=90^{\circ }$ (так как $OA\perp MN$), $\angle ONA=\angle MNO=45^{\circ }\text{,}$ значит, треугольник равнобедренный: $OA=AN\text{.}$ Следовательно,

$$AN=r=2\sqrt{3}-3.$$

5. Сторона $MN\text{:}$

$$MN=MA+AN=\sqrt{3}+(2\sqrt{3}-3)=3\sqrt{3}-3.$$

Ответ:
а) Доказано, что точка $A$ лежит на прямой $LO\text{.}$

б) $MN=3\sqrt{3}-3\text{.}$