Задача №15307

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $M\text{.}$ Известно, что $BCDM$ — параллелограмм.

а) Докажите, что $BC=DE\text{.}$

б) Найдите длину стороны $AB\text{,}$ если известно, что $DE=4\text{,}$ $AD=7\text{,}$ $BE=8$ и $AB>BC\text{.}$

а) Так как $BCDM$ — параллелограмм, то $BM\parallel CD$ и $BC\parallel DM\text{.}$ Поскольку $B,M,E$ лежат на одной прямой, прямая $BM$ совпадает с $BE\text{,}$ значит, $BE\parallel CD\text{.}$ Следовательно, четырёхугольник $BCDE$ — трапеция с основаниями $BE$ и $CD\text{,}$ причём он вписан в окружность.

Докажем, что трапеция $BCDE$ равнобедренная. Из $BE\parallel CD$ получаем

$$\angle BCD=\angle CBE.$$

Так как $B,C,D,E$ лежат на одной окружности, то вписанные углы, опирающиеся на одну хорду $CE\text{,}$ равны:

$$\angle CBE=\angle CDE.$$

Значит, $\angle BCD=\angle CDE\text{,}$ то есть углы при основании $CD$ в трапеции равны, следовательно, её боковые стороны равны:

$$BC=DE.$$

б) По пункту а) $BC=DE=4\text{.}$ В параллелограмме $BCDM$ имеем $DM=BC=4\text{.}$ Так как $D,M,A$ лежат на одной прямой и $M$ между $A$ и $D\text{,}$ то

$$AM=AD-DM=7-4=3.$$

Рассмотрим треугольник $DEM\text{.}$ В нём $DE=DM\text{,}$ значит, $\angle DME=\angle MED\text{.}$

Углы $\angle DME$ и $\angle BMA$ вертикальные (прямые $AD$ и $BE$ пересекаются в $M$), значит,

$$\angle BMA=\angle DME.$$

Так как $B,M,E$ коллинеарны, то $\angle MED=\angle DEB\text{.}$ Углы $\angle DEB$ и $\angle DAB$ — вписанные и опираются на хорду $DB\text{,}$ поэтому равны. Поскольку $M\in AD\text{,}$ то $\angle DAB=\angle BAM\text{.}$ Итак,

$$\angle BAM=\angle DEB=\angle MED=\angle DME=\angle BMA.$$

Следовательно, треугольник $ABM$ равнобедренный и $AB=BM\text{.}$ Обозначим $AB=BM=x\text{.}$ Тогда

$$EM=BE-BM=8-x.$$

Так как $M\in BE\text{,}$ то $\angle DEM=\angle DEB\text{.}$ Как отмечено выше, $\angle DEB=\angle DAB=\angle BAM\text{.}$ Кроме того, $\angle DME=\angle BMA\text{.}$ Значит, треугольники $BMA$ и $DME$ подобны (по двум углам), причём $AB$ соответствует $DE\text{,}$ а $AM$ соответствует $EM\text{.}$ Поэтому

$$\frac{AB}{DE}=\frac{AM}{EM}.$$

Подставляя $DE=4\text{,}$ $AM=3\text{,}$ $EM=8-x\text{,}$ получаем

$$\frac{x}{4}=\frac{3}{8-x}.$$

Отсюда

$$x(8-x)=12\Rightarrow x^2-8x+12=0\Rightarrow x=2\text{ или }x=6.$$

По условию $AB>BC=4\text{,}$ значит, $AB=6\text{.}$

Ответ: 6.