Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Диагонали AD и BE пересекаются в точке M. Известно, что BCDM — параллелограмм. а) Докажите, что BC = DE. б) Найдите длину стороны AB, если известно, что DE = 4, AD = 7, BE = 8 и AB > BC.

а) Так как BCDM — параллелограмм, то BM CD и BC DM. Поскольку B,M,E лежат на одной прямой, прямая BM совпадает с BE, значит, BE CD. Следовательно, четырёхугольник BCDE — трапеция с основаниями BE и CD, причём он вписан в окружность. Докажем, что трапеция BCDE равнобедренная. Из BE CD получаем BCD = CBE. Так как B,C,D,E лежат на одной окружности, то вписанные углы, опирающиеся на одну хорду CE, равны: CBE = CDE. Значит, BCD = CDE, то есть углы при основании CD в трапеции равны, следовательно, её боковые стороны равны: BC = DE. б) По пункту а) BC=DE=4. В параллелограмме BCDM имеем DM=BC=4. Так как D,M,A лежат на одной прямой и M между A и D, то AM = AD - DM = 7-4=3. Рассмотрим треугольник DEM. В нём DE=DM, значит, DME = MED. Углы DME и BMA вертикальные (прямые AD и BE пересекаются в M), значит, BMA = DME. Так как B,M,E коллинеарны, то MED = DEB. Углы DEB и DAB — вписанные и опираются на хорду DB, поэтому равны. Поскольку Min AD, то DAB= BAM. Итак, BAM = DEB = MED = DME = BMA. Следовательно, треугольник ABM равнобедренный и AB=BM. Обозначим AB=BM=x. Тогда EM = BE - BM = 8-x. Так как Min BE, то DEM = DEB. Как отмечено выше, DEB= DAB= BAM. Кроме того, DME= BMA. Значит, треугольники BMA и DME подобны (по двум углам), причём AB соответствует DE, а AM соответствует EM. Поэтому (AB)/(DE) = (AM)/(EM). Подставляя DE=4, AM=3, EM=8-x, получаем (x)/(4) = (3)/(8-x). Отсюда x(8-x)=12=> x^2-8x+12=0=> x=2 или x=6. По условию AB>BC=4, значит, AB=6. Ответ: 6.

\(\text{а) }BC=DE\) \(\text{б) }6\)