Задача №15305

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 27 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равна общая сумма платежей в 2029 году?

Пусть кредит $A=27$ млн рублей, срок $n=36$ месяцев, ежемесячная процентная ставка $r=0,03\text{,}$ ежемесячное уменьшение долга $d=\frac{A}{n}=\frac{27}{36}=0,75$ млн.

Долг на 15-е число месяца $k$ (после $k$-го платежа) равен $S_k=A-k\cdot d\text{,}$ где $k=0,1,\dots ,n\text{,}$ причём $S_0=A\text{,}$ $S_n=0\text{.}$

Платеж в месяц $k$ ($k=1,\dots ,n$) состоит из процентов на долг $S_{k-1}$ и погашения $d\text{:}$

$$P_k=r\cdot S_{k-1}+d.$$

Платежи происходят 15-го числа каждого месяца. Первый платеж — 15 января 2027, последний — 15 декабря 2029. В 2029 году происходят платежи с 15 января по 15 декабря включительно. Этим соответствуют номера месяцев $k$ от 25 до 36 (так как $k=1$ — январь 2027, $k=25$ — январь 2029, $k=36$ — декабрь 2029). Всего 12 платежей.

Общая сумма платежей в 2029 году:

$$\sum _{k=25}^{36}{P}_k=\sum _{k=25}^{36}(r{S}_{k-1}+d)=r\sum _{k=25}^{36}{S}_{k-1}+12d.$$

Вычислим сумму остатков долга $S_{k-1}$ для $k=25,\dots ,36\text{.}$ При этих $k\text{,}$ индекс $j=k-1$ пробегает от 24 до 35:

$$S_j=27-j\cdot 0,75,j=24,25,\dots ,35.$$

Сумма арифметической прогрессии:

$$\sum _{j=24}^{35}{S}_j=\sum _{j=24}^{35}(27-0,75j)=27\cdot 12-0,75\sum _{j=24}^{35}j.$$

Сумма ${\sum }_{j=24}^{35}j$ — арифметическая прогрессия:

$$\sum _{j=24}^{35}j=\frac{24+35}{2}\cdot 12=\frac{59}{2}\cdot 12=59\cdot 6=354.$$

Тогда

$$\sum _{j=24}^{35}{S}_j=324-0,75\cdot 354=324-265,5=58,5\text{ млн}.$$

Проценты: $r\cdot 58,5=0,03\cdot 58,5=1,755$ млн.

Сумма погашений: $12d=12\cdot 0,75=9$ млн.

Таким образом, общая сумма платежей в 2029 году равна $1,755+9=10,755$ млн рублей.

Ответ: 10,755 млн рублей.