15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 27 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; - 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; - к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равна общая сумма платежей в 2029 году?

Пусть кредит A = 27 млн рублей, срок n = 36 месяцев, ежемесячная процентная ставка r = 0,03 , ежемесячное уменьшение долга d = (A)/(n) = (27)/(36) = 0,75 млн. Долг на 15-е число месяца k (после k -го платежа) равен S_k = A - k* d , где k = 0,1,,n , причём S_0 = A , S_n = 0 . Платеж в месяц k ( k = 1,,n ) состоит из процентов на долг S_(k-1) и погашения d : P_k = r* S_(k-1) + d. Платежи происходят 15-го числа каждого месяца. Первый платеж — 15 января 2027, последний — 15 декабря 2029. В 2029 году происходят платежи с 15 января по 15 декабря включительно. Этим соответствуют номера месяцев k от 25 до 36 (так как k=1 — январь 2027, k=25 — январь 2029, k=36 — декабрь 2029). Всего 12 платежей. Общая сумма платежей в 2029 году: _(k=25)^(36) P_k = _(k=25)^(36) (r S_(k-1) + d) = r_(k=25)^(36) S_(k-1) + 12d. Вычислим сумму остатков долга S_(k-1) для k=25,,36 . При этих k , индекс j = k-1 пробегает от 24 до 35: S_j = 27 - j* 0,75, j = 24,25,,35. Сумма арифметической прогрессии: _(j=24)^(35) S_j = _(j=24)^(35) (27 - 0,75j) = 27* 12 - 0,75_(j=24)^(35) j. Сумма _(j=24)^(35) j — арифметическая прогрессия: _(j=24)^(35) j = (24+35)/(2)* 12 = (59)/(2)* 12 = 59* 6 = 354. Тогда _(j=24)^(35) S_j = 324 - 0,75* 354 = 324 - 265,5 = 58,5 млн. Проценты: r* 58,5 = 0,03* 58,5 = 1,755 млн. Сумма погашений: 12d = 12* 0,75 = 9 млн. Таким образом, общая сумма платежей в 2029 году равна 1,755 + 9 = 10,755 млн рублей. Ответ: 10,755 млн рублей.

\(10,755\)