Решите неравенство log5((3−x)(x2+2))⩾log5(x2−7x+12)+log5(5−x).
ОДЗ:
⎩⎨⎧(3−x)(x2+2)>0,x2−7x+12>0,5−x>0⇔⎩⎨⎧3−x>0(т.к. x2+2>0),(x−3)(x−4)>0,x<5⇔⎩⎨⎧x<3,x<3 или x>4,x<5⇔x<3.Преобразуем неравенство:
log5((3−x)(x2+2))⩾log5((x2−7x+12)(5−x)).
Так как основание 5>1, получаем:
(3−x)(x2+2)⩾(x2−7x+12)(5−x).
Переносим всё в одну сторону:
(3−x)(x2+2)−(x2−7x+12)(5−x)⩾0.
Вынесем общий множитель (3−x)? Заметим: x2−7x+12=(x−3)(x−4)=−(3−x)(x−4).
Тогда:
Раскроем вторую скобку:
x2+2+(x−4)(5−x)=x2+2+5x−x2−20+4x=9x−18=9(x−2).
Неравенство принимает вид:
(3−x)⋅9(x−2)⩾0⇔(x−3)(x−2)⩽0.
Решаем: x∈[2;3].
Учитываем ОДЗ x<3: получаем x∈[2;3).
Проверим границу x=3: левая часть исходного неравенства log5(0⋅11) не определена, поэтому x=3 не входит.
Ответ: [2;3).
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ